Abdussakir

Dzikir, Fikir, dan Amal Shaleh

JALUR MENUJU BERPIKIR FORMAL DALAM MATEMATIKA

Posted by abdussakir on October 11, 2012

 Oleh

Abdussakir

Jurusan Matematika UIN Maliki Malang

[disampaikan dalam Seminar Nasional MIPA oleh FMIPA UM Malang, 13 Nopember 2010.]

 

Abstrak

David Tall menyatakan bahwa terdapat tiga dunia berpikir matematika, yaitu dunia perwujudan, simbolis, dan formal. Pembelajaran matematika di sekolah menengah lebih menekankan pada dunia perwujudan dan simbolis, sedangkan di perguruan tinggi lebih menekankan pada dunia berpikir formal. Perubahan pola pembelajaran ini mengakibatkan terjadinya transisi berpikir pada mahasiswa matematika di tahun pertama perguruan tinggi. Untuk sampai pada dunia berpikir formal, hasil penelitian Pinto (1998) dan Weber (2003) menunjukkan terdapat tiga jalur yang dapat ditempuh mahasiswa, yaitu jalur alami, formal, dan prosedural. Tulisan ini mencoba menganalisis adanya kemungkinan jalur lain yang dapat ditempuh mahasiswa menuju berpikir formal.

Kata Kunci: dunia berpikir, perwujudan, simbolis, formal, jalur.

 

Pendahuluan

Sebagian besar mahasiswa matematika di tahun pertama mengalami perubahan dalam proses berpikir sebagai akibat transisi dari matematika sekolah ke pembuktian formal dalam matematika murni di universitas. Matematika sekolah dapat dipandang sebagai kombinasi dari representasi visual, termasuk geometri dan grafik, bersama-sama dengan perhitungan dan manipulasi simbolis. Matematika murni di universitas bergeser menuju kerangka formal sistem aksiomatik dan bukti matematik.

Transisi dalam berpikir dapat dirumuskan dalam kerangka tiga dunia matematika, yaitu

(1) dunia perwujudan-konseptual, berdasarkan persepsi dan refleksi pada sifat-sifat objek, pada awalnya terlihat dan dirasakan dalam dunia nyata tapi kemudian dibayangkan dalam pikiran,

(2) dunia simbolis-proceptual, yang tumbuh keluar dari dunia perwujudan melalui tindakan (seperti menghitung) dan disimbolkan sebagai konsep masuk akal (seperti angka) yang berfungsi sebagai proses untuk berbuat dan konsep untuk berpikir (prosep), dan

(3) dunia formal-aksiomatik,  dari kerangka teoritik definisi konsep dan bukti matematika, yang membalik urutan konstruksi makna dari definisi yang didasarkan pada objek dikenal menuju konsep formal berdasarkan pada set-teoritik definisi (Tall, 2004:285, 2008a:5).

Setiap “dunia” mempunyai urutan pengembangan sendiri dan bentuk-bentuk bukti sendiri yang dapat dipadukan untuk menghasilkan berbagai macam cara berpikir secara matematis (Tall, 2008a:5, Tall dan Mejia-Ramos, 2006:5). Dalam dunia perwujudan, mahasiswa mulai dengan percobaan fisik untuk menemukan kecocokan antar benda, deskripsi verbal menjadi definisi dan digunakan untuk mendukung konstruksi visual terhadap bukti verbal dan membangun teori dari definisi dan bukti. Dalam dunia simbolik, argumen dimulai dari perhitungan numerik yang spesifik dan berkembang menjadi bukti manipulasi simbolik. Dalam dunia formal, bentuk bukti yang diinginkan adalah deduksi formal, seperti teorema nilai tengah dibuktikan dengan aksioma kelengkapan (Tall dan Mejia-Ramos, 2006:5).

Beberapa penelitian mengenai transisi menuju berpikir formal sudah dilakukan. Hasil penelitian Hong dkk (2009) menunjukkan bahwa guru matematika lebih cenderung pada dunia simbolis sedangkan dosen lebih cenderung pada dunia formal. Guru lebih cenderung pada gaya prosedural sedangkan dosen lebih cenderung pada gaya formal.

Penelitian oleh Stewart & Ramos (2007, 2008) pada matakuliah aljabar linear menemukan berbagai cara mahasiswa menjelaskan konsep bebas linear, nilai eigen, dan vektor eigen. Mahasiswa menggunakan representasi perwujudan dan simbolis untuk menjelaskan konsep tersebut. Namun, demikian dalam penelitian ini tidak dijelaskan alasan mengapa mahasiswa menggunakan representasi perwujudan dan simbolis. Lebih lanjut dalam disertasinya, Sepideh Stewart (2008:247) menyarankan agar dilakukan penelitian mendalam mengenai bagaimana proses berpikir mahasiswa sehingga dapat mencapai berpikir formal.

Penelitian Pinto (1998) menemukan dua jalur yang ditempuh mahasiswa dalam matakuliah analisis real, yaitu jalur alami dan jalur formal, untuk menuju berpikir formal. Jalur alami dibangun berdasarkan dunia perwujudan, simbolis atau gabungan keduanya dan membentuk jaringan dengan bayangan mental selama proses menerjemahkan bayangan mental menjadi bukti tertulis. Jalur formal menfokuskan pada teorema-teorema dan langkah logika yang diperlukan untuk mencapai kesimpulan yang diinginkan. Berdasarkan penelitian Pinto, Weber (2004) menambahkan satu jalur, yaitu jalur procedural, ketika melaksanakan penelitian pada matakuliah analisis real. Jalur prosedural menfokuskan langkah pembuktian sebagai hasil menghapal.

Davil Tall (2008b:14-15) menyatakan

“These transitions occur throughout the curriculum. Those that involve unhelpful met-befores include:

(a)    From counting to the whole number concept

(b)   From whole numbers to fractions

(c)    From whole numbers to signed numbers

(d)   From arithmetic to algebra

(e)    From powers to fractional and negative powers

(f)    From finite arithmetic to the limit concept

(g)   From description to deductive definition

(h)   At many  other  transitions,  such  as  teaching  the  function  concept  in  stages (linear,  quadratic,  trigonometric,  logarithm,  exponential,  etc)  builds limitations at each stage that stunt long-term growth.

Research in many of these areas still needs to be done, so I invite you to do research into the effects of met-befores in transitions in the mathematical curriculum.”

Pernyataan David Tall ini menjelaskan bahwa penelitian tentang dampak met-before  dalam transisi berpikir juga sangat perlu dilakukan.

Berdasarkan uraian di atas, maka beberapa pertanyaan yang dapat dimunculkan adalah adakah kemungkinan jalur lain selain jalur natural, formal, dan procedural serta bagaimana peran met-before pada saat seseorang menempuh suatu jalur tertentu.

Set-Before dan Met-Before

David Tall (2008a) menggunakan istilah set-before untuk merujuk kepada struktur mental manusia yang dibawa sejak lahir, yang mungkin memerlukan sedikit waktu untuk matang saat otak manusia membuat koneksi pada awal kehidupan. Sebagai contoh, struktur visual otak memiliki sistem built-in untuk mengidentifikasi warna dan corak, untuk melihat perubahan dalam corak, mengidentifikasi sisi, mengkoordinasikan sisi untuk melihat benda-benda dan melacak gerakan mereka. Jadi anak lahir dengan sistem biologis untuk mengenali jumlah benda-benda (satu, dua, atau mungkin tiga) yang memberikan set-before untuk konsep “duaan” sebelum anak belajar menghitung.

Lebih lanjut, Tall (2008a) menyatakan ada tiga set-before  mendasar yang menyebabkan manusia berpikir secara matematis dengan cara tertentu. Ketiganya adalah:

  1. pengenalan  pola, persamaan dan perbedaan;
  2. pengulangan rangkaian tindakan sampai menjadi otomatis.
  3. bahasa untuk menggambarkan dan memperbaiki cara kita berpikir tentang sesuatu;

Meskipun pengenalan dan pengulangan untuk berlatih kebiasaan-kebiasaan juga ditemukan pada spesies lain, kekuatan bahasa, dan penggunaan simbol-simbol yang terkait, memungkinkan manusia untuk fokus pada ide-ide penting, untuk menamai mereka dan berbicara tentang mereka untuk memperbaiki makna. Pengenalan pola adalah fasilitas penting untuk matematika, termasuk pola dalam bentuk dan bilangan.

Pengulangan yang menjadi otomatis sangat penting untuk belajar prosedur. Namun, ada tingkat yang lebih tinggi yang tidak hanya melibatkan kemampuan untuk melakukan prosedur, tetapi juga untuk berpikir tentang hal ini sebagai suatu entitas. Dalam hal ini, simbol-simbol beroperasi secara dual, yakni sebagai proses dan konsep (prosep) yang memungkinkan manusia untuk berpikir fleksibel (Gray & Tall, 1994).

Perkembangan pribadi didasarkan pada pengalaman yang telah ditemui sebelumnya. Pengalaman sebelumnya membentuk koneksi di otak yang mempengaruhi bagaimana memahami situasi baru. David Tall (2008a) mendefinisikan met-before sebagai fasilitas mental sekarang berdasarkan pengalaman spesifik individu sebelumnya. Suatu met-before ini kadang-kadang konsisten dengan situasi baru dan kadang-kadang tidak konsisten. Kebanyakan kurikulum hanya berfokus pada perluasan pengalaman berdasarkan pada met-before positif, dan gagal untuk menjelaskan met-before yang menyebabkan banyak peserta didik mengalami kesulitan mendalam.

Tiga Dunia Matematika

Perkembangan individu dibangun atas tiga set-before  mendasar yaitu pengakuan, pengulangan dan bahasa untuk mengkonstruksi tiga urutan perkembangan yang saling terkait dan saling terpadu untuk membangun pemikiran matematis secara penuh (Tall, 2004, 2006). Ini bukan untuk mengatakan bahwa ada korespondensi satu-satu antara set-before dan urutan perkembangan. Pengakuan dan kategorisasi gambar serta bentuk mendukung pemikiran dalam geometri dan grafik, sedangkan pengulangan serangkaian tindakan yang disimbolkan sebagai konsep yang dapat dipikirkan mengarah pada aritmetika dan aljabar. Masing-masing proses konstruksi ini berkembang lebih lanjut melalui penggunaan bahasa untuk menggambarkan, mendefinisikan dan menyimpulkan hubungan, sampai pada tingkat tertinggi, bahasa digunakan sebagai dasar untuk matematika formal.

Davidd Tall (2008a) selanjutnya menggambarkan cara berpikir ini ke dalam tiga dunia matematika yang berkembang dalam pengalaman duniawi dengan cara yang cukup berbeda.  Tiga dunia matematika ini sebagai berikut.

  1. Dunia perwujudan-konseptual, berdasarkan persepsi dan refleksi pada sifat-sifat objek, pada awalnya terlihat dan dirasakan dalam dunia nyata tapi kemudian dibayangkan dalam pikiran;
  2. Dunia simbolis-proceptual yang tumbuh keluar dari dunia perwujudan melalui tindakan (seperti menghitung) dan disimbolkan sebagai konsep masuk akal (seperti angka) yang berfungsi sebagai proses untuk berbuat dan konsep untuk berpikir (prosep);
  3. Dunia formal-aksiomatik (berdasarkan definisi formal dan bukti), yang membalik urutan konstruksi makna dari definisi yang didasarkan pada objek dikenal menuju konsep formal berdasarkan pada set-teoritik definisi.

Perwujudan konseptual tidak hanya mengacu pada klaim yang lebih luas dari Lakoff (1987) bahwa semua pemikiran adalah perwujudan, tapi lebih khusus untuk representasi perseptual sesuatu. Secara konseptual, kita dapat mewujudkan figur geometris, seperti segitiga yang terdiri dari tiga segmen garis lurus; kita membayangkan segitiga seperti itu dan menjadikan suatu segitiga khusus yang bertindak sebagai prototipe untuk mewakili seluruh kelas segitiga. Kita “melihat” gambaran suatu grafik tertentu yang mewakili suatu fungsi spesifik atau generik.

Proceptual simbolis mengacu pada penggunaan simbol-simbol yang muncul dari skema aksi, seperti menghitung, yang menjadi konsep-konsep, seperti bilangan (Gray & Tall, 1994). Suatu simbol seperti 3 + 2 atau Öb2- 4ac mewakili proses yang harus dilakukan sekaligus konsep yang dihasilkan oleh proses tersebut.

Aksiomatik formal mengacu pada formal Hilbert yang membawa kita melampaui operasi formal Piaget. Perbedaan utama dari perwujudan dan simbolis matematika dasar matematika adalah bahwa dalam matematika dasar, definisi muncul dari pengalaman dengan benda-benda yang sifatnya dijabarkan dan kemudian digunakan sebagai definisi. Dalam matematika formal, seperti ditulis dalam publikasi matematika, presentasi resmi mulai dari set-teori definisi dan menyimpulkan properti lainnya menggunakan bukti formal.

Ketiga dunia tersebut dapat saling berinterkasi dan bekerja secara bersama. Meletakkan dua nama secara bersama, seperti perwujudan-konseptual aksiomatik-formal adalah jelas tidak tepat sehingga diperlukan kompresi. Untuk tujuan ini, mengacu pada tiga dunia matematika, David Tall (2008a) hanya menyebut sebagai perwujudan, simbolis dan formal. Istilah ini tetap menggunakan makna untuk istilah yang telah ditetapkan. Dengan kompresi ini, maka memungkinkan untuk menggabungkan mereka dan memberikan nama seperti perwujudan formalis ketika berpikir formal didukung oleh perwujudan.

Matematika sekolah berkembang dari perwujudan konsepsi tindakan fisik: bermain dengan bentuk, menempatkan mereka dalam koleksi, menunjuk dan menghitung, membagi, dan mengukur. Setelah operasi ini dilakukan dan menjadi rutinitas, mereka dapat disimbolkan sebagai bilangan dan digunakan secara dual sebagai operasi atau sebagai entitas mental. Saat fokus perhatian beralih dari perwujudan ke manipulasi simbol, berpikir matematika berubah dari perwujudan ke dunia simbolik (proseptual). Melalui matematika sekolah, perwujudan memberikan arti khusus dalam berbagai konteks, sementara simbolis dalam aritmetika dan aljabar menawarkan dunia mental daya komputasi.

Kemudian transisi ke dunia aksiomatik formal didasarkan pada pengalaman perwujudan dan simbolis ini untuk merumuskan definisi formal dan untuk membuktikan teorema dengan menggunakan bukti matematis. Bukti formal yang tertulis adalah tahap akhir berpikir matematika. Hal ini didasarkan pada pengalaman teorema apa yang layak untuk membuktikan dan bagaimana mungkin pembuktian dilakukan, sering kali berkembang secara implicit dalam perwujudan dan pengalaman simbolik.

Teori-teori formal yang didasarkan pada aksioma sering mengarah pada struktur teorema, yang mengungkapkan bahwa sistem aksiomatik (seperti ruang vektor) mempunyai perwujudan yang lebih rumit dan simbolis yang terkait -misalnya ruang vector berdimensi hingga adalah system koordinat dimensi-n. Dengan cara ini, kerangka teoretis menjadi lingkaran penuh, berkembang dari perwujudan dan simbolis ke formal, kembali lagi ke bentuk yang lebih canggih dari perwujudan dan simbolis yang, pada gilirannya, memberikan cara-cara baru pada matematika yang lebih rumit.

Beberapa penelitian mengenai teori David Tall mengenai tiga dunia matematika telah dilakukan. Hasil penelitian Hong dkk (2009) menunjukkan bahwa guru matematika lebih cenderung pada dunia simbolis sedangkan dosen lebih cenderung pada dunia formal. Hal ini jelas akan memberikan pengaruh pada perubahan cara berpikir siswa ketika masuk ke perguruan tinggi. Penelitian Kristina Juter (2006) mengenai perkembangan konsep mahasiswa untuk topik limit fungsi menunjukkan bahwa semua mahasiswa belum mencapai berpikir formal. Penelitian oleh Stewart & Ramos (2007, 2008) pada matakuliah aljabar linear menemukan bahwa mahasiswa hanya sampai pada dunia perwujudan dan simbolis untuk menjelaskan konsep bebas linear, nilai eigen, dan vektor eigen. Lebih lanjut dalam disertasinya, Sepideh Stewart (2008:247) menyarankan agar dilakukan penelitian mendalam mengenai bagaimana mahasiswa dapat mencapai berpikir formal.

 

Dualitas Simbol: Proses dan Konsep

Ausubel dkk (1968) membedakan antara belajar bermakna dan belajar hapalan. Belajar yang menghasilkan skema pengetahuan yang kaya akan saling keterkaitan antara entitas pengetahuan disebut belajar bermakna, dan belajar yang menghasilkan entitas pengetahuan yang terisolasi dari skema pengetahuan yang ada disebut belajar hapalan. Hiebert dan Lefevre (dalam Hiebert, 1986;6) membedakan antara pengetahuan procedural dan konseptual. Pengetahuan mengenai fakta dan prosedur oleh disebut pengetahuan procedural, sedangkan pengetahuan mengenai fakta dan konsep yang saling terkait satu sama lain disebut pengetahuan konseptual. Skemp (1987:166) membedakan antara pemahaman instrumental, pemahaman relasional, dan pemahaman formal/logis. Kemampuan untuk melakukan rumus-rumus atau prosedur-prosedur tanpa mengetahui mengapa rumus itu dapat berfungsi disebut pemahaman instrumental. Kemampuan untuk menghasilkan aturan atau prosedur khusus dari saling keterkaitan konsep matematika yang lebih umum disebut pemahaman relasional. Kemampuan untuk menghubungkan simbol-simbol dan notasi-notasi matematika (fakta) dengan konsep matematika dan kemampuan mengkombinasikan fakta dan konsep ke dalam jaringan penalaran logis disebut pemahaman formal atau pemahaman logis.

Aspek prosedural matematika terfokus pada manipulasi rutin objek yang diwakili baik oleh benda konkret, kata-kata lisan, simbol tertulis, atau gambaran mental. Relatif mudah untuk melihat apakah prosedur tersebut dilakukan secara memadai, dan kinerja dalam tugas-tugas serupa sering diambil sebagai ukuran pencapaian dalam keterampilan ini. Pengetahuan konseptual di sisi lain lebih sulit untuk dinilai. Ini adalah pengetahuan yang kaya dalam hubungan (Gray & Tall, 1994:2).

Pembedaan antara belajar procedural dan belajar konseptual ini sebenarnya tidak bersifat eksklusif. Prosedur-prosedur dapat memberikan kesempatan untuk bekerja dalam matematika dan saling keterkaitan konseptual dapat memberikan kesempatan untuk memikirkannya. Melalui belajar aritmetika, aljabar dan kalkulus, symbol dapat berperan penting untuk melakukan suatu prosedur (misalnya penjumlahan) sekaligus sebagai hasil dari prosedur itu (yakni jumlahnya). Jadi, symbol berfungsi sebagai proses sekaligus sebagai konsep. Berikut ini beberapa contoh yang lain.

Simbol Proses Konsep
3 + 4 Penjumlahan Jumlah
-3 Kurangi 3, 3 langkah ke kiri Negatif 3
¾ Pembagian Pecahan
3 + 2x Evaluasi Expresi
v = s/t Rasio Kecepatan
sin A = sisi depan/sisi miring Rasio trigonometri Fungsi trigonometri
y = f(x) Pemasangan Fungsi
dy/dx Diferensiasi Turunan
ò f(x) dx Integrasi Integral

Perkembangan umum dalam matematika dimulai dengan mendapatkan pengalaman dari suatu proses, pertama sebagai prosedur yang spesifik, mungkin kemudian dengan lebih banyak fleksibilitas dalam cara-cara alternatif yang lebih efektif atau dibatasi, dan akhirnya dipahami sebagai satu kesatuan. Simbol yang pertama kali membangkitkan suatu proses menjadi dilihat juga sebagai konsep yang dihasilkan. Penggunaan simbol sebagai poros antara proses dan konsep disebut procep. Ini memberikan kekuatan yang besar yang memungkinkan individu untuk melakukan matematika (sebagai proses) dan untuk berpikir tentang hal itu (sebagai suatu konsep) (Tall, 1996:2-3).

Jalur Menuju Berpikir Formal

Ketika berhadapan dengan ide-ide matematika baru, individu bentindak dalam berbagai cara. Dalam aritmetika, siswa yang berhasil sudah memiliki struktur fleksibel yang saling mendukung penggunaan simbolis baik sebagai proses untuk mendapatkan hasil dan konsep untuk dipikirkan. Siswa yang tidak berhasil lebih menfokuskan pada ketepatan melakukan algoritma dan jarang sukses dengan masalah rutin. Saat perkembangan mereka terus berlanjut dalam matematika, perbedaan mulai berbeda bahkan lebih mencolok. Dalam menghadapi ide-ide baru, beberapa siswa memiliki sedikit struktur kognitif untuk dikembangkan dan cenderung untuk mundur lebih jauh pada belajar hafalan. Beberapa siswa yang memiliki kekayaan pertumbuhan struktur kognitif mengembangkan pendekatan pribadi yang berbeda-beda.

Salah satu metode kategorisasi pendekatan yang berbeda adalah dengan mengatakan “Apakah siswa membangun struktur yang dimiliki untuk memahami matematika baru, atau apakah pelajar mencoba untuk memahami matematika sebagai matematika itu sendiri?” Dengan kata lain, apakah siswa mensintesis pengalaman mereka untuk membangun ide-ide matematika baru atau menganalisis ide-ide matematika baru untuk membangun sistem itu sendiri yang mungkin dapat diintegrasikan dengan pengetahuan sebelumnya. Duffin & Simpson (1993) menyebut yang pertama sebagai siswa “alami” dan yang terakhir sebagai siswa “asing”. David Tall (1997) menyebut yang pertama sebagai siswa “alami” dan yang kedua sebagai siswa “formal”. Siswa alami mencoba untuk memahami ide baru menggunakan pengetahuan saat ini, sedangkan siswa formal memberikan kesempatan pada pengetahuan baru untuk mengembangkan arti tersendiri tanpa merasa perlu untuk menghubungkannya dengan pengetahuan lainnya (Tall, 1997:11-12).

Apa yang terjadi pada siswa alami dan formal ketika mereka menghadapi definisi dan deduksi pada matematika lanjut? Siswa alami harus menggunakan pengetahuan yang dimilikinya dan berusaha menempatkan definisi sesuai fungsinya. Ini memerlukan sejumlah besar refleksi dan reorganisasi pengetahuan yang memuat banyak kelemahan. Sesungguhnya “pelajar alami” yang belum memahami peran definisi sebagai formalisasi konsep baru dan mendeduksi sifat-sifatnya, benar-benar “mengetahui” banyak sifat dan dibingungkan oleh seluruh masalah. Namun, yang lainnya bisa sukses dan ditandai dengan kemampuan memberikan arti definisi berdasarkan kekayaan pengalaman mereka. Di sisi lain, siswa formal adalah mereka yang berusaha untuk menggunakan definisi verbal sesuai fungsinya dan menggunakannya untuk mengekstrak makna. Sekali lagi, ada yang berhasil dan beberapa gagal (Tall, 1997:11-12).

Dikaitkan dengan transisi berpikir dari dunia perwujudan dan simbolis menuju dunia formal, Maria Pinto (1998) mengemukakan dua jalur yang ditempuh mahasiswa dalam matakuliah analisis real, yaitu jalur alami dan jalur formal. Jalur alami dibangun berdasarkan dunia perwujudan, simbolis atau gabungan keduanya dan membentuk jaringan dengan bayangan mental selama proses menerjemahkan bayangan mental menjadi bukti tertulis. Jalur formal menfokuskan pada teorema-teorema dan langkah logika yang diperlukan untuk mencapai kesimpulan yang diinginkan. Penelitian Pinto ini dilakukan pada materi analisis real khususnya topik limit barisan.

Berangkat dari hasil penelitian Pinto, pertanyaan yang dapat diajukan untuk diteliti lebih lanjut adalah mengapa mahasiswa memilih jalur alami atau jalur formal. Pemilihan jalur oleh mahasiswa ini dapat ditinjau dari met-before mahasiswa. Pinto tidak memberikan penjelasan mengenai met-before mahasiswa terutama jika dikaitkan dengan metode pembelajaran yang dilakukan dosen untuk materi yang diteliti.

Melengkapi penelitian Pinto, penelitian Weber (2003 dan 2004) memberikan penjelasan yang lebih detil. Weber tidak hanya ingin menjelaskan berbagai jalur yang ditempuh mahasiswa, tetapi juga melihat met-before mahasiswa berkaitan dengan gaya mengajar dosen pada matakuliah analisis real. Selian jalur alami dan formal, Weber menambahkan satu jalur baru, yaitu jalur procedural. Jalur prosedural menfokuskan langkah pembuktian sebagai hasil menghapal tanpa pembenaran secara formal. Data penelitian Weber juga menunjukkan bahwa mahasiswa dapat menggunakan berbagai jalur bergantung pada konteks materi yang mereka hadapi. Dari 6 mahasiswa yang diteliti, semua menggunakan jalur alami untuk pertanyaan tentang topologi. Perkuliahan topologi ini dilakukan dengan gaya semantik. Meskipun demikian, untuk pertanyaan tentang fungsi dan limit, hanya satu siswa yang menjawab secara alami. Respon yang lain, 4 formal dan 1 prosedural (untuk soal fungsi) serta 2 formal dan 3 prosedural (untuk soal limit). Perkuliahan materi fungsi dilakukan dengan gaya logiko-struktural dan materi limit barisan dengan gaya procedural.

David Tall (2008a) menggunakan istilah perwujudan untuk perwujudan-konseptual, simbolis untuk simbolis-proseptual, dan formal untuk formal-aksiomatik. Penggunaan istilah ini dilakukan untuk menyederhanakan istilah ketika terjadi penggabungan antara dua dunia, misalnya formal dan simbolis, sehingga dapat disebut simbolis formal bukan simbolis-proseptual formal-aksiomatik. Penyederhanaan ini memberikan kemungkinan adanya penggabungan dua dunia atau lebih yang pada akhirnya dapat memberikan kemungkinan adanya penggabungan dua jalur atau lebih pada transisi berpikir mahasiswa.

Gambar 1. Perkembangan Kognitif melalui Tiga Dunia Matematika (David Tall, 2008a)

Berdasarkan Gambar 1, maka penulis dapat merinci bahwa terdapat minimal 4 (empat) jalur menuju pembuktian formal, (1) jalur melalui dunia perwujudan menuju pembuktian formal, (2) jalur melalui dunia simbolik menuju pembuktian formal, (3) jalur dari dunia perwujudan dan simbolik, dan akhirnya menuju pembuktian formal, dan (4) jalur dari dunia formal menuju pembuktian formal. Pinto (1998) menyebut jalur (1), (2), dan (3) dengan jalur natural, dan jalur (4) dengan jalur formal.

Kompresi jalur (1), (2), dan (3) menjadi satu jalur masih perlu penghalusan. Jalur (1) dan jalur (2) tentunya akan melewati aktivitas mental yang sangat berbeda. Jalur (1) membangun bukti formal melalui manipulasi atau tindakan fisik seperti bermain dengan bentuk, menempatkan mereka dalam koleksi, menunjuk dan menghitung, membagi, dan mengukur sedangkan jalur (2) membangun bukti formal melalui manipulasi simbol. Dengan demikian, penulis merasa masih diperlukan penghalusan dalam pengkategorian jalur natural.

Pinto (1998:302-303) menyatakan bahwa

From the analysis of data collected, and also on basis of our own experience learning mathematics, it is more likely that an individual builds mathematical knowledge constantly combining the two identified strategies of learning. It seems to be important to follow the development of students who present such a variation to the routes of learning which are already identified. In addition, there might be other strategies used by the learners when building their mathematical knowledge, which are worth to be known and understood.

Penelitian Hahkiöniemi (2006:74-75) menemukan bahwa terdapat beberapa jalur yang ditempuh mahasiwa dalam memahami konsep turunan, yaitu jalur perwujudan, jalur simbolik, dan beberapa variasi gabungan dari dua jalur tersebut. Nampak disini, bahwa Hahkiöniemi (2006) tidak menyatakan jalur tersebut sebagai jalur natural menurut Pinto (1998), tetapi merincinya sebagai jalur tersendiri.

Observasi awal penulis menunjukkan bahwa ada mahasiswa yang menggunakan bentuk formal dan perwujudan ketika diminta menjawab pertanyaan tentang materi fungsi komposisi. Hal ini semakin menguatkan dugaan bahwa masih ada jalur lain selain jalur alami, formal, dan procedural. Berdasarkan kajian teoritik dan gejala empirik yang ada, maka adanya jalur lain selain jalur natural, formal, dan procedural sangat dimungkinkan dan perlu diteliti lebih lanjut.     

 

Penutup

            Transisi berpikir dari matematika sekolah ke matematika formal di perguruan tinggi masih menyisakan banyak pertanyaan jika dikaitkan dengan jalur yang dilalui mahasiswa dari dunia perwujudan dan simbolis menuju dunia formal. Penelitian lebih lanjut masih dapat dilakukan untuk menjawab kemungkinan adanya jalur lain selain jalur alami, formal, dan procedural. Selain itu, dalam menempuh suatu jalur, penelitian tentang proses berpikir mahasiswa masih perlu dilakukan untuk melihat peran met-before. Apakah met-before berperan positif atau justru berperan negatif.

 

Referensi

Duffin, J. M. & Simpson. A. P. 1993. Natural, Conflicting, and Alien. Journal of Mathematical Behavior, 12  4: 313–328.

Gray, E. & Tall, D. O. 1994. Duality, Ambiguity and Flexibility: A Proceptual View of Simple Arithmetic. The Journal for Research in Mathematics Education, 26 (2):115–141.

Hiebert, James. 1986. Conceptual and Procedural Knowledge: The Case of Mathematics. New Jersey: Lawrence Erlbaum Associates, Publisher.

Hahkiöniemi, M. 2006.  Tools for Studying the Derivative. Unpublished PhD, Jyväskylä, Finland.

Hong, YY., Kerr, S.. Klymchuk, S.. McHardy, J.. Murphy, P.. Spencer, S.. Thomas, M.. & Watson, P.. 2009. Modelling the Transition from Secondary to Tertiary Mathematics Education: Teacher and Lecturer Perspectives. Article from Group Research, Auckland University of Technology, New Zealand.

Lakoff, G. 1987. Women, Fire and Dangerous Things. Chicago: Chicago University Press.

Pinto, M. M. F. 1998.  Students’ Understanding of Real Analysis. Unpublished PhD Thesis, University of Warwick. UK.

Skemp, Richard R.. 1987. The Psychology of Learning Mathematics. New Jersey: Lawrence Earlbaum Associates.

Stewart, S., & Thomas, M. O. J. 2007. Eigenvalues and Eigenvectors:Formal, Symbolic and Embodied Thinking. Dipresentasikan pada the 10th Conference of the Special Interest Group of the Mathematical Association of America on Research in Undergraduate Mathematics Education, San Diego, California, USA.

Stewart, S., & Thomas, M. O. J. 2008. Linear Algebra Thinking: Embodied, Symbolic and Formal Aspects of Linear Independence. Dipresentasikan pada the 11th Conference of the Special Interest Group of the Mathematical Association of America on Research in Undergraduate Mathematics Education, San Diego, California, USA.

Stewart, S.. 2008. Understanding Linear Algebra Concepts Through the Embodied, Symbolic and Formal Worlds of Mathematical Thinking. Unpublished PhD. Thesis, Department of Mathematics, The University of Auckland. New Zealand.

Tall, D.O. 1996. Advanced Mathematical Thinking & The Computer. Proceedings of the 20th University Mathematics Teaching Conference, Shell Centre, Nottingham, Halaman: 1-8

Tall, D.O. 1997. From School to University: the Transition from Elementary to Advanced Mathematics Thinking. Dipresentasikan pada the Australasian Bridging Conference in Mathematics diAuckland University, New Zealand, 13 Juli 1997.

Tall, D. O. 2004. Thinking through Three Worlds of Mathematics. Proceedings of the 28th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education. Bergen, Norway. Vol 4 Hal: 281-288.

Tall, D. O. 2006. A Theory of Mathematical Growth through Embodiment, Symbolism and Proof.  Annales de Didactique et de Sciences Cognitives, Irem de Strasbourg. 11, 195–215.

Tall, D.O. 2008a. The Transition to Formal Thinking in Mathematics. Mathematics Education Research Journal, Vol. 20 No. 2 Hal: 5-24.

Tall, D.O.. 2008b. The Historical & Individual Development of Mathematical Thinking:  Ideas that are Set-Before and Met-Before. Plenary Presented at Colóquio de Histório e Tecnologia no Ensino Da Mathemática. UFRJ, Rio de Janeiro, Brazil, May 5th.

Tall, D. O., & Mejia-Ramos, J. P. 2006. The Long-Term Cognitive Development of Different Types of Reasoning and Proof.  Dipresentasikan pada the Conference on Explanation and Proof in Mathematics: Philosophical and Educational Perspectives di Universität Duisburg-Essen, Essen, Germany.

Weber, K. 2003. A procedural route toward understanding the concept of proof. Proceedings of the Twenty-third Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, Honolulu, HI. Vol 4 Hal: 395 – 401

Weber, K. 2004. Traditional Instruction  in Advanced Mathematics Courses: A Case Study of One Professor’s Lectures and Proofs in an Introductory Real Analysis Course. Journal of Mathematical Behavior  23 Halaman 115–133.

Posted in Uncategorized | Leave a Comment »

PEMBELAJARAN GEOMETRI SESUAI TEORI VAN HIELE (Lengkap)

Posted by abdussakir on February 9, 2011

Artikel dimuat dalam El-Hikmah: Jurnal Kependidikan dan Keagamaan, Vol VII Nomor 2, Januari 2010, ISSN 1693-1499. Fakultas Tarbiyah UIN Maliki Malang

PEMBELAJARAN GEOMETRI SESUAI TEORI VAN HIELE

Oleh
Abdussakir, M.Pd

Abstrak

Geometri menempati posisi khusus dalam kurikulum matematika sekolah, karena banyaknya konsep yang termuat di dalamnya dan aplikasinya dalam kehidupan sehari-hari. Pada dasarnya geometri mempunyai peluang yang lebih besar untuk dipahami siswa dibandingkan dengan cabang matematika yang lain, namun bukti-bukti di lapangan menunjukkan bahwa hasil belajar geometri masih rendah. Banyak siswa yang masih mengalami kesulitan dalam memahami materi geometri. Untuk mengatasi kesulitan-kesulitan siswa dalam belajar geometri tersebut, cara yang dapat ditempuh adalah penerapan teori van Hiele.

Kata Kunci: pembelajaran, geometri, teori van Hiele.

A. Pendahuluan
Geometri menempati posisi khusus dalam kurikulum matematika, karena banyaknya konsep-konsep yang termuat di dalamnya. Dari sudut pandang psikologi, geometri merupakan penyajian abstraksi dari pengalaman visual dan spasial, misalnya bidang, pola, pengukuran dan pemetaan. Sedangkan dari sudut pandang matematik, geometri menyediakan pendekatan-pendekatan untuk pemecahan masalah, misalnya gambar-gambar, diagram, sistem koordinat, vektor, dan transformasi. Geometri juga merupakan lingkungan untuk mempelajari struktur matematika (Burger & Shaughnessy, 1993:140).
Geometri digunakan oleh setiap orang dalam kehidupan sehari-hari. Ilmuwan, arsitek, artis, insinyur, dan pengembang perumahan adalah sebagian kecil contoh profesi yang menggunakan geometri secara reguler. Dalam kehidupan sehari-hari, geometri digunakan untuk mendesain rumah, taman, atau dekorasi (Van de Walle, 1990:269). Usiskin (1987:26-27) mengemukakan bahwa geometri adalah (1) cabang matematika yang mempelajari pola-pola visual, (2) cabang matematika yang menghubungkan matematika dengan dunia fisik atau dunia nyata, (3) suatu cara penyajian fenomena yang tidak tampak atau tidak bersifat fisik, dan (4) suatu contoh sistem matematika.
Tujuan pembelajaran geometri adalah agar siswa memperoleh rasa percaya diri mengenai kemampuan matematikanya, menjadi pemecah masalah yang baik, dapat berkomunikasi secara matematik, dan dapat bernalar secara matematik (Bobango, 1992:148). Sedangkan Budiarto (2000:439) menyatakan bahwa tujuan pembelajaran geometri adalah untuk mengembangkan kemampuan berpikir logis, mengembangkan intuisi keruangan, menanamkan pengetahuan untuk menunjang materi yang lain, dan dapat membaca serta menginterpretasikan argumen-argumen matematik.

Pada dasarnya geometri mempunyai peluang yang lebih besar untuk dipahami siswa dibandingkan dengan cabang matematika yang lain. Hal ini karena ide-ide geometri sudah dikenal oleh siswa sejak sebelum mereka masuk sekolah, misalnya garis, bidang dan ruang. Meskipun demikian, bukti-bukti di lapangan menunjukkan bahwa hasil belajar geometri masih rendah (Purnomo, 1999:6) dan perlu ditingkatkan (Bobango, 1993:147). Bahkan, di antara berbagai cabang matematika, geometri menempati posisi yang paling memprihatinkan (Sudarman, 2000:3).
Di Amerika Serikat, hanya separuh dari siswa yang ada yang mengambil pelajaran geometri formal (Bobango, 1993:147). Selain itu, prestasi semua siswa dalam masalah yang berkaitan dengan geometri dan pengukuran masih rendah (Bobango, 1993:147). Selanjutnya, Hoffer menyatakan bahwa siswa-siswa di Amerika dan Uni Soviet sama-sama mengalami kesulitan dalam belajar geometri (Kho, 1996:4).

Rendahnya prestasi geometri siswa juga terjadi di Indonesia. Bukti-bukti empiris di lapangan menunjukkan bahwa masih banyak siswa yang mengalami kesulitan dalam belajar geometri, mulai tingkat dasar sampai perguruan tinggi. Berbagai penelitian menunjukkan bahwa prestasi geometri siswa SD masih rendah (Sudarman, 2000:3). Sedangkan di SMP ditemukan bahwa masih banyak siswa yang belum memahami konsep-konsep geometri. Sesuai penelitian Sunardi (2001) ditemukan bahwa banyak siswa salah dalam menyelesaikan soal-soal mengenai garis sejajar pada siswa SMP dan masih banyak siswa yang menyatakan bahwa belah ketupat bukan jajargenjang.

Di SMU, Madja (1992:3) mengemukakan bahwa hasil tes geometri siswa kurang memuaskan jika dibandingkan dengan materi matematika yang lain. Kesulitan siswa dalam memahami konsep-konsep geometri terutama pada konsep bangun ruang (Purnomo, 1999:5). Madja (1992:3) menyatakan bahwa siswa SMU masih mengalami kesulitan dalam melihat gambar bangun ruang. Sedangkan di perguruan tinggi, berdasarkan pengalaman, pengamatan dan penelitian ditemukan bahwa kemampuan mahasiswa dalam melihat ruang dimensi tiga masih rendah (Madja, 1992:6). Bahkan dari berbagai penelitian, masih ditemukan mahasiswa yang menganggap gambar bangun ruang sebagai bangun datar, mahasiswa masih sulit menentukan garis bersilangan dengan berpotongan, dan belum mampu menggunakan perolehan geometri SMU untuk menyelesaikan permasalahan geometri ruang (Budiarto, 2000:440). Untuk mengatasi kesulitan-kesulitan dalam belajar geometri tersebut, cara yang dapat ditempuh adalah penerapan teori van Hiele.

B. Teori van Hiele dan Penelitian yang Relevan
Teori van Hiele yang dikembangkan oleh Pierre Marie van Hiele dan Dina van Hiele-Geldof sekitar tahun 1950-an telah diakui secara internasional (Martin dkk., 1999) dan memberikan pengaruh yang kuat dalam pembelajaran geometri sekolah. Uni Soviet dan Amerika Serikat adalah contoh negara yang telah mengubah kurikulum geometri berdasar pada teori van Hiele (Anne, 1999). Pada tahun 1960-an, Uni Soviet telah melakukan perubahan kurikulum karena pengaruh teori van Hiele (Crowley, 1987:1 dan Anne, 1999). Sedangkan di Amerika Serikat pengaruh teori van Hiele mulai terasa sekitar permulaan tahun 1970-an (Burger & Shaughnessy, 1986:31 dan Crowley, 1987:1). Sejak tahun 1980-an, penelitian yang memusatkan pada teori van Hiele terus meningkat (Gutierrez, 1991:237 dan Anne, 1999).

Beberapa penelitian yang telah dilakukan membuktikan bahwa penerapan teori van Hiele memberikan dampak yang positif dalam pembelajaran geometri. Bobango (1993:157) menyatakan bahwa pembelajaran yang menekankan pada tahap belajar van Hiele dapat membantu perencanaan pembelajaran dan memberikan hasil yang memuaskan. Senk (1989:318) menyatakan bahwa prestasi siswa SMU dalam menulis pembuktian geometri berkaitan secara positif dengan teori van Hiele. Mayberry (1983:67) berdasarkan hasil penelitiannya menyatakan bahwa konsekuensi teori van Hiele adalah konsisten. Burger dan Shaughnessy (1986:47) melaporkan bahwa siswa menunjukkan tingkah laku yang konsisten dalam tingkat berpikir geometri sesuai dengan tingkatan berpikir van Hiele. Susiswo (1989:77) menyimpulkan bahwa pembelajaran geometri dengan pembelajaran model van Hiele lebih efektif daripada pembelajaran konvensional. Selanjutnya Husnaeni (2001:165) menyatakan bahwa penerapan model van Hiele efektif untuk peningkatan kualitas berpikir siswa.

C. Tahap Berpikir Menurut Teori van Hiele
Teori van Hiele yang dikembangkan oleh dua pendidik berkebangsaan Belanda, Pierre Marie van Hiele dan Dina van Hiele-Geldof, menjelaskan perkembangan berpikir siswa dalam belajar geometri (Mayberry, 1983:58). Menurut teori van Hiele, seseorang akan melalui lima tahap perkembangan berpikir dalam belajar geometri (Crowley, 1987:1). Kelima tahap perkembangan berpikir van Hiele adalah tahap 0 (visualisasi), tahap 1 (analisis), tahap 2 (deduksi informal), tahap 3 (deduksi), dan tahap 4 (rigor).

Tahap berpikir van Hiele dapat dijelaskan sebagai berikut.
1. Tahap 0 (Visualisasi)
Tahap ini juga dikenal dengan tahap dasar, tahap rekognisi, tahap holistik, dan tahap visual. Pada tahap ini siswa mengenal bentuk-bentuk geometri hanya sekedar berdasar karakteristik visual dan penampakannya. Siswa secara eksplisit tidak terfokus pada sifat-sifat obyek yang diamati, tetapi memandang obyek sebagai keseluruhan. Oleh karena itu, pada tahap ini siswa tidak dapat memahami dan menentukan sifat geometri dan karakteristik bangun yang ditunjukkan.
2. Tahap 1 (Analisis)
Tahap ini juga dikenal dengan tahap deskriptif. Pada tahap ini sudah tampak adanya analisis terhadap konsep dan sifat-sifatnya. Siswa dapat menentukan sifat-sifat suatu bangun dengan melakukan pengamatan, pengukuran, eksperimen, menggambar dan membuat model. Meskipun demikian, siswa belum sepenuhnya dapat menjelaskan hubungan antara sifat-sifat tersebut, belum dapat melihat hubungan antara beberapa bangun geometri dan definisi tidak dapat dipahami oleh siswa.
3. Tahap 2 (Deduksi Informal)
Tahap ini juga dikenal dengan tahap abstrak, tahap abstrak/relasional, tahap teoritik, dan tahap keterkaitan. Hoffer (dalam Orton, 1992:72) menyebut tahap ini dengan tahap ordering. Pada tahap ini, siswa sudah dapat melihat hubungan sifat-sifat pada suatu bangun geometri dan sifat-sifat antara beberapa bangun geometri. Siswa dapat membuat definisi abstrak, menemukan sifat-sifat dari berbagai bangun dengan menggunakan deduksi informal, dan dapat mengklasifikasikan bangun-bangun secara hirarki. Meskipun demikian, siswa belum mengerti bahwa deduksi logis adalah metode untuk membangun geometri.
4. Tahap 3 (Deduksi)
Tahap ini juga dikenal dengan tahap deduksi formal. Pada tahap ini siswa dapat menyususn bukti, tidak hanya sekedar menerima bukti. Siswa dapat menyusun teorema dalam sistem aksiomatik. Pada tahap ini siswa berpeluang untuk mengembangkan bukti lebih dari satu cara. Perbedaan antara pernyataan dan konversinya dapat dibuat dan siswa menyadari perlunya pembuktian melalui serangkaian penalaran deduktif.
5. Tahap 4 (Rigor)
Clements & Battista (1992:428) juga menyebut tahap ini dengan tahap metamatematika, sedangkan Muser dan Burger (1994) menyebut dengan tahap aksiomatik. Pada tahap ini siswa bernalar secara formal dalam sistem matematika dan dapat menganalisis konsekuensi dari manipulasi aksioma dan definisi. Saling keterkaitan antara bentuk yang tidak didefinisikan, aksioma, definisi, teorema dan pembuktian formal dapat dipahami.

Teori van Hiele mempunyai karakteristik, yaitu (1) tahap-tahap tersebut bersifat hirarki dan sekuensial, (2) kecepatan berpindah dari tahap ke tahap berikutnya lebih bergantung pada pembelajaran, dan (3) setiap tahap mempunyai kosakata dan sistem relasi sendiri-sendiri (Anne,1999). Burger dan Culpepper (1993:141) juga menyatakan bahwa setiap tahap memiliki karakteristik bahasa, simbol dan metode penyimpulan sendiri-sendiri.

Clements & Battista (1992:426-427) menyatakan bahwa teori van Hiele mempunyai karakteristik, yaitu (1) belajar adalah proses yang tidak kontinu, terdapat “lompatan” dalam kurva belajar seseorang, (2) tahap-tahap tersebut bersifat terurut dan hirarki, (3) konsep yang dipahami secara implisit pada suatu tahap akan dipahami secara ekplisit pada tahap berikutnya, dan (4) setiap tahap mempunyai kosakata sendiri-sendiri. Crowley (1987:4) menyatakan bahwa teori van Hiele mempunyai sifat-sifat berikut (1) berurutan, yakni seseorang harus melalui tahap-tahap tersebut sesuai urutannya; (2) kemajuan, yakni keberhasilan dari tahap ke tahap lebih banyak dipengaruhi oleh isi dan metode pembelajaran daripada oleh usia; (3) intrinsik dan ekstrinsik, yakni obyek yang masih kurang jelas akan menjadi obyek yang jelas pada tahap berikutnya; (4) kosakata, yakni masing-masing tahap mempunyai kosakata dan sistem relasi sendiri; dan (5) mismacth, yakni jika seseorang berada pada suatu tahap dan tahap pembelajaran berada pada tahap yang berbeda. Secara khusus yakni jika guru, bahan pembelajaran, isi, kosakata dan lainnya berada pada tahap yang lebih tinggi daripada tahap berpikir siswa.

Setiap tahap dalam teori van Hiele, menunjukkan karakteristik proses berpikir siswa dalam belajar geometri dan pemahamannya dalam konteks geometri. Kualitas pengetahuan siswa tidak ditentukan oleh akumulasi pengetahuannya, tetapi lebih ditentukan oleh proses berpikir yang digunakan.
Tahap-tahap berpikir van Hiele akan dilalui siswa secara berurutan (Keyes, 1997 dan Anne, 1999). Dengan demikian siswa harus melewati suatu tahap dengan matang sebelum menuju tahap berikutnya. Kecepatan berpindah dari suatu tahap ke tahap berikutnya lebih banyak bergantung pada isi dan metode pembelajaran daripada umur dan kematangan (Crowley, 1987:4; Schoen & Hallas, 1993:108 dan Keyes, 1997). Dengan demikian, guru harus menyediakan pengalaman belajar yang cocok dengan tahap berpikir siswa.

D. Pengalaman Belajar sesuai Tahap Berpikir van Hiele
Telah dijelaskan sebelumnya bahwa tingkat berpikir siswa dalam geometri menurut teori van Hiele lebih banyak bergantung pada isi dan metode pembelajaran. Oleh sebab itu, perlu disediakan aktivitas-aktivitas yang sesuai dengan tingkat berpikir siswa.

Crowley (1987:7-12) menjelaskan aktivitas-aktivitas yang dapat digunakan untuk tiga tahap pertama, yaitu tahap 0 sampai tahap 2, sebagai berikut.
1. Aktivitas Tahap 0 (Visualisasi)
Pada tahap 0 ini, bangun-bangun geometri diperhatikan berdasarkan penampakan fisik sebagai suatu keseluruhan. Aktivitas untuk tahap ini antara lain sebagai berikut.
a. Memanipulasi, mewarna, melipat dan mengkonstruk bangun-bangun geometri.
b. Mengidentifikasi bangun atau relasi geometri dalam suatu gambar sederhana, dalam kumpulan potongan bangun, blok-blok pola atau alat peraga yang lain, dalam berbagai orientasi, melibatkan obyek-obyek fisik lain di dalam kelas, rumah, foto, atau tempat lain, dan dalam bangun-bangun yang lain.
c. Membuat bangun dengan menjiplak gambar pada kertas bergaris, menggambar bangun, dan mengkonstruk bangun.
d. Mendeksripsikan bangun-bangun geometri dan mengkonstruk secara verbal menggunakan bahasa baku atau tidak baku, misalnya kubus “seperti pintu atau kotak.”.
e. Mengerjakan masalah yang dapat dipecahkan dengan menyusun, mengukur, dan menghitung.

2. Aktivitas Tahap 1 (Analisis)
Pada tahap 1 ini siswa diharapkan dapat mengungkapkan sifat-sifat bangun geometri. Aktivitas untuk tahap ini antara lain sebagai berikut.
a. Mengukur, mewarna, melipat, memotong, memodelkan, dan menyusun dalam urutan tertentu untuk mengidentifikasi sifat-sifat dan hubungan geometri lainnya.
b. Mendeskripsikan kelas suatu bangun sesuai sifat-sifatnya.
c. Membandingkan bangun-bangun berdasarkan karakteristik sifat-sifatnya.
d. Mengidentifikasi dan menggambar bangun yang diberikan secara verbal atau diberikan sifat-sifatnya secara tertulis.
e. Mengidentifikasi bangun berdasarkan sudut pandang visualnya.
f. Membuat suatu aturan dan generalisasi secara empirik (berdasarkan beberpa contoh yang dipelajari).
g. Mengidentifikasi sifat-sifat yang dapat digunakan untuk mencirikan atau mengkontraskan kelas-kelas bangun yang berbeda.
h. Menemukan sifat objek yang tidak dikenal.
i. Menjumpai dan menggunakan kosakata atau simbol-simbol yang sesuai.
j. Menyelesaikan masalah geometri yang dapat mengarahkan untuk mengetahui dan menemukan sifat-sifat suatu gambar, relasi geometri, atau pendekatan berdasar wawasan.

3. Aktivitas Tahap 2 (Deduksi Informal)
Pada tahap 2 ini siswa diharapkan mampu mempelajari keterkaitan antara sifat-sifat dan bangun geometri yang dibentuk. Aktivitas siswa untuk tahap ini antara lain sebagai berikut.
a. Mempelajari hubungan yang telah dibuat pada tahap 1, membuat inklusi, dan membuat implikasi
b. Mengidentifikasi sifat-sifat minimal yang menggambar suatu bangun.
c. Membuat dan menggunakan definisi
d. Mengikuti argumen-argumen informal
e. Menyajikan argumen informal.
f. Mengikuti argumen deduktif, mungkin dengan menyisipkan langkah-langkah yang kurang.
g. Memberikan lebih dari satu pendekatan atau penjelasan.
h. Melibatkan kerjasama dan diskusi yang mengarah pada pernyataan dan konversnya.
i. Menyelesaikan masalah yang menekankan pada pentingnya sifat-sifat gambar dan saling keterkaitannya.

Van de Walle (1990:270) membuat deksripsi aktivitas yang lebih sederhana dibandingkan deskripsi yang dibuat oleh Crowley (1987:7-12). Menurut Van de Walle aktivitas pembelajaran untuk masing-masing tiga tahap pertama adalah sebagai berikut.
1. Aktivitas Tahap 0 (Visualisasi).
Aktivitas pada tahap 0 ini haruslah:
a. melibatkan penggunaan model fisik yang dapat digunakan siswa untuk memanipulasi,
b. melibatkan berbagai contoh bangun-bangun yang sangat bervariasi dan berbeda sehingga sifat yang tidak relevan dapat diabaikan,
c. melibatkan kegiatan memilih, mengidentifikasi dan mendeksripsikan berbagai bangun, dan
d. menyediakan kesempatan untuk membentuk, membuat, menggambar, menyusun atau menggunting bangun.
2. Aktivitas Tahap 1 (Analisis)
Aktivitas untuk tahap 1 ini haruslah:
a. menggunakan model-model pada tahap 0, terutama pada model-model yang dapat digunakan untuk mengeksplorasi berbagai sifat bangun,
b. mulai lebih menfokuskan pada sifat-sifat daripada sekedar identifikasi,
c. mengklasifikasi bangun berdasar sifat-sifatnya berdasarkan nama bangun tersebut, dan
d. menggunakan pemecahan masalah yang melibatkan sifat-sifat bangun.
3. Aktivitas Tahap 2 (Deduksi Informal)
Aktivitas untuk tahap 2 ini haruslah:
a. melanjutkan pengklasifikasian model dengan fokus pada pendefinisian sifat. Membuat daftar sifat dan mendiskusikan sifat yang perlu dan cukup untuk kondisi suatu bangun atau konsep,
b. memuat penggunaan bahasa yang bersifat deduktif informal, misalnya: semua, suatu, dan jika-maka serta mengamati validitas konvers suatu relasi.
c. Menggunakan model atau gambar sebagai sarana untuk berpikir dan mulai mencari generalisasi atau contoh kontra.
Jika pembelajaran langsung dimulai pada tahap 2 dapat dimungkinkan terjadi mismatch. Mismatch adalah ketidaksesuaian antara pengalaman belajar dengan tahap berpikir siswa. Siswa yang berada pada suatu tahap berpikir, diberi pengalaman belajar sesuai tahap berpikir di atasnya. Mismatch dapat mengakibatkan belajar hafalan atau belajar temporer, sehingga berakibat konsep yang diperoleh siswa akan mudah dilupakan.

E. Contoh Pembelajaran Materi Segitiga sesuai Teori van Hiele
Berikut ini adalah contoh sederhana mengenai pembelajaran materi segitiga di sekolah dasar atau madrasah ibtidaiyah sesuai tahap berpikir van Hiele. Contoh ini hanya meliputi tiga tahap pertama, karena siswa sekolah dasar atau madrasah ibtidaiyah hanya akan sampai pada tahap 2 (deduksi informal).
1. Tahap 0 (Visualisasi)
Pada tahap 0 ini guru menyediakan berbagai model bangun (atau dapat juga gambar) segitiga dan bukan segitiga. Berbagai gambar segitiga dan bukan segitiga ini dibuat sangat bervariasi dan ditempatkan secara acak.

Gambar-gambar dibuat kontras sehingga tampak betul perbedaan dan kesamaan masing-masing. Berdasarkan gambar-gambar yang disediakan siswa mulai memilih berdasar kesamaan dan perbedaannya. Siswa dapat diminta mengelompokkan gambar berdasarkan kesamaan bentuknya atau langsung diminta menyebutkan mana yang termasuk segitiga dan yang bukan segitiga. Guru juga perlu menyediakan Lembar Kerja Siswa (LKS) untuk membimbing arah belajar siswa.

Pada tahap 0 ini diharapkan siswa dapat mengelompokkan mana yang termasuk segitiga dan yang bukan segitiga. Pengelompokan ini masih sebatas dari penampakan visual. Berdasarkan pengelompokan tersebut diharapkan siswa dapat mengenal segitiga meskipun pengenalan ini masih terbatas pada penampakan visual.
Jika siswa sudah dapat membuat pengelompokan dengan benar maka dapat dikatakan siswa sudah berada pada tahap 0 dan siap melanjutkan pada aktivitas tahap 1. Hal ini sesuai dengan pendapat Crowley (1987) bahwa pada tahap 0 siswa dapat mengenal bentuk-bentuk geometri hanya sekedar berdasar karakteristik visual dan penampakannya. Siswa secara eksplisit tidak terfokus pada sifat-sifat obyek yang diamati, tetapi memandang obyek sebagai keseluruhan.

Selanjutnya guru dapat memberikan beberapa contoh gambar lagi dan meminta siswa untuk memasukkan contoh gambar tersebut ke dalam kelompok yang telah ada. Setelah yakin bahwa siswa sudah berada pada tahap 0, guru mulai membimbing dan mengarahkan siswa untuk memberikan nama pada setiap kelompok. Jadi, siswa sudah mulai dikenalkan istilah segitiga dan bukan segitiga. Meskipun demikian, guru tidak memberikan definisi. Karena pada tahap 0 ini siswa belum dapat memahami definisi formal.
2. Tahap 1 (Analisis)
Pada tahap 1 ini, siswa tetap menggunakan model-model (atau gambar) pada tahap 0. Berdasarkan pengelompokan yang dibuat, siswa mulai mengeksplorasi berbagai sifat yang dimiliki tiap kelompok gambar. Siswa mulai lebih menfokuskan pada sifat-sifat daripada sekedar identifikasi. Siswa mulai mencari sifat-sifat mengapa suatu kelompok gambar tertentu termasuk kelompok segitiga dan kelompok lain bukan segitiga. Selain itu, siswa membandingkan masing-masing kelompok menurut sifat-sifat yang mereka temukan. Dengan demikian, sifat-sifat dapat mencirikan dan mengkontraskan masing-masing kelompok.

Selanjutnya guru diharapkan dapat memberikan beberapa contoh lagi dan menanyakan contoh tersebut masuk kelompok mana dan mengapa. Siswa dapat diminta menjelaskan secara verbal alasan tersebut. Pada tahap ini guru juga dapat memberikan permasalahan dalam bentuk verbal dan siswa diminta untuk mengidentifikasi soal yang diberikan. Permasalahan yang diajukan guru hendaknya melibatkan penggunaan sifat-sifat yang ditemukan siswa.
Jika siswa sudah dapat menemukan sifat-sifat segitiga dan bukan segitiga serta dapat menyelesaikan permasalahan yang melibatkan sifat bangun baik secara lisan dan tulisan, berarti siswa sudah berada pada tahap 1. Hal ini sesuai dengan pendapat Crowley (1987:8) bahwa pada tahap 1 siswa sudah dapat mengidentifikasi sifat-sifat meskipun tetapi belum dapat memahami definisi.
3. Tahap 2 (Deduksi Informal)
Pada tahap 2 ini siswa melanjutkan pengklasifikasian gambar atau model dengan fokus pada pendefinisian sifat. Siswa membuat daftar sifat yang ditemukan untuk masing-masing kelompok gambar. Selanjutnya siswa mendiskusikan sifat yang perlu dan cukup untuk kondisi suatu bangun atau konsep. Siswa mulai mengarah pada sifat yang perlu dan cukup agar suatu bangun dapat disebut segitiga atau bukan. Selanjutnya siswa diarahkan menggunakan bahasa yang bersifat deduktif informal, misalnya: jika-maka.

Pada tahap ini, guru mulai mengarahkan siswa untuk membuat definisi abstrak mengenai segitiga. Guru mengamati apakah definisi yang dibuat siswa sudah bersifat umum. Sesuai definisi yang dibuat siswa, guru dapat memberikan permasalahan berupa generalisasi atau memberikan contoh kontra untuk melihat kebenaran definisi yang dibuat siswa. Jika siswa sudah dapat membuat definisi segitiga dengan tepat maka siswa sudah berada pada tahap 2.
Berdasarkan urutan tahap-tahap ini, maka dapat dikatakan bahwa siswalah yang membangun konsep segitiga melalui pengamatan sifat-sifat yang ada pada segitiga. Definisi yang dibuat siswa menggunakan bahasa mereka sendiri, dan terkadang hanya sebagai kumpulan sifat-sifat yang telah mereka temukan. Peran guru dalam hal ini adalah membantu siswa membuat formulasi definisi yang tepat tentang segitiga.

F. Penutup
Untuk membantu mengatasi kesulitan siswa dalam mempelajari geometri diperlukan suatu strategi, metode dan bahkan teori pembelajaran yang sesuai. Salah satu metode yang telah dipercaya dapat membangun pemahaman siswa dalam belajar geometri adalah penerapan teori van Hiele. Hal ini senada dengan beberapa hasil penelitian yang telah membuktikan bahwa penerapan teori van Hiele memberikan dampak yang positif dalam pembelajaran geometri.
Suatu karakteristik tingkat berpikir van Hiele adalah bahwa kecepatan untuk berpindah dari suatu tingkat ke tingkat berikutnya lebih banyak dipengaruhi oleh aktivitas dalam pembelajaran. Dengan demikian, pengorganisasian pembelajaran, isi, dan materi merupakan faktor penting. Guru memegang peran penting dalam mendorong kecepatan melalui suatu tingkatan. Tingkat berpikir yang lebih tinggi hanya dapat dicapai melalui latihan-latihan yang tepat, bukan melalui ceramah semata. Dengan demikian, pemilihan aktivitas-aktivitas yang sesuai dengan tahap berpikir siswa mutlak diperlukan untuk membantu siswa mencapai tahap berpikir yang lebih tinggi.

G. Daftar Rujukan
Anne, T.. 1999. The van Hiele Models of Geometric Thought. (Online) (Http://euler.slu.edu/teach_material/van_hiele_model_of_geometry.html, diakses 2 Pebruari 2002).

Bobango, J.C.. 1993. Geometry for All Student: Phase-Based Instruction. Dalam Cuevas (Eds). Reaching All Students With Mathematics. Virginia: The National Council of Teachers of Mathematics,Inc.

Budiarto, M.T.. 2000. Pembelajaran Geometri dan Berpikir Geometri. Dalam prosiding Seminar Nasional Matematika “Peran Matematika Memasuki Milenium III”. Jurusan Matematika FMIPA ITS Surabaya. Surabaya, 2 Nopember.

Burger, W.F. & Culpepper, B.. 1993. Restructuring Geometry. Dalam Wilson Patricia S. (Ed). Reseach Ideas for The Classroom: High Scholl Mathematics. New York: MacMillan Publishing Company.

Burger, W.F. & Shaughnessy, J.M.. 1986. Characterizing the van Hiele Levels of Development in Geometry. Journal for Research in Mathematics Education. 17(I):31-48

Clements, D.H. & Battista, M.T.. 1992. Geometry and Spatial Reasoning. Dalam Grouws, D.A. (ed). Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning. New York: MacMillan Publishing Company.

Crowley, M.L. 1987. The van Hiele Model of the Geometric Thought.. Dalam Linquist, M.M. (eds) Learning ang Teaching Geometry, K-12. Virginia: The NCTM, Inc.

Gutierrez, A., Jaime, A. dan Fortuny, J.M.. 1991. An Alternative Paradigm to Evaluate The Acquisition of The van Hiele Levels. Journal for Research in Mathematics Education. 22 (3): 237-257.

Husnaeni. 2001. Membangun Konsep Segitiga Melalui Penerapan Teori van Hiele Pada Siswa Kelas IV Sekolah Dasar. Tesis tidak diterbitkan. Malang: PPS UM.

Kho, R.. 1996. Tahap Berpikir dalam Belajar Geometri Siswa-siswa Kelas II SMP Negeri I Abepura di Jayapura Berpandu pada Model van Hiele. Tesis tidak diterbitkan. Malang: PPS IKIP Malang.

Keyes, C.. 1997. A Review of Research on General Mathematics Reseach. (Online). (http://www.qsu.edu/~mstlls/res_ck.htm, diakses 2 Pebruari 2002)

Madja, M.S.. 1992. Perancangan dan Implementasi Perangkat Ajar Geometri SMTA. Tesis tidak diterbitkan. Jakarta: PPS UI.

Muser, E.L. & Burger, W.F.. 1994. Mathematics for Elementary teachers: A Contemporary Approach, Third Edition. New York: MacMillan Publishing Company.

NCTM. 2000. Principles and Standards for School Mathematics. Virginia: The NCTM, Inc..

Orton, A.. 1992. Learning Mathematics: Issues, Theory, and Classroom Practice, 2nd Edition. London: Cassell.

Purnomo, A.. 1999. Penguasaan Konsep Geometri dalam Hubungannya dengan Teori Perkembangan Berpikir van Hiele pada Siswa Kelas II SLTP Negeri 6 Kodya Malang. Tesis tidak diterbitkan. Malang: PPS IKIP Malang.

Schoen, H.L. & Hallas, D.. 1993. Improving the General Mathematics Experience. Dalam Wilson Patricia S. (Ed). Reseach Ideas for The Classroom: High Scholl Mathematics. New York: MacMillan Publishing Company.

Sudarman. 2000. Pengembangan Paket Pembelajaran Berbantuan Komputer Materi Luas dan Keliling Segitiga untuk Kelas V Sekolah Dasar. Tesis tidak diterbitkan. Malang: PPS UM.

Sunardi. 2001. Hubungan antara Usia, Tingkat Berpikir dan Kemampuan Siswa dalam Geometri. Dalam prosiding Seminar Nasional Matematika “Peran Matematika Memasuki Milenium III”. Jurusan Matematika FMIPA ITS Surabaya. Surabaya, 2 Nopember.

Susiswo. 1989. Efektivitas Pengajaran Geometri Model van Hiele di SMP Swasta Kotamadya Malang Kelas II. Skripsi tidak diterbitkan. Malang: FPMIPA IKIP MALANG.

Posted in Artikel | 98 Comments »

Realistic Mathematics Education (RME) dan Penerapannya di MI

Posted by abdussakir on November 23, 2010

A. RME dan Sejarahnya
Berbicara mengenai RME, maka tidak akan lepas dengan sosok seorang ahli matematika dan ahli pendidikan Prof. Hans Freudenthal. Hans Freudenthal adalah warga Jerman yang lahir pada tahun 1905 di Luckenwalde. Pada tahun 1930, dia pindah ke Amsterdam, Netherlands dan pada tahun 1946 di menjadi profesor di Universiteit Utrecht. Pada tahun 1971, Freudenthal mendirikan Instituut Ontwikkeling Wiskunde Onderwijs (IOWO) atau Institut for Development of Mathematics Education, yang sekarang lebih dikenal dengan nama Freudenthal Institut. Freudenthal Institut adalah bagian dari Faculty of Mathematics and Computer Science di Utrect University, yang merupakan tempat pelaksanaan research tentang pendidikan matematika dan bagaimana matematika harus diajarkan. Freudenthal meninggal pada usia 85 tahun tepatnya tanggal 13 Oktober 1990.
Freudenthal menyatakan bahwa matematika adalah “human activity” dan dari ide inilah RME dikembangkan. RME menyatukan pandangan mengenai apa matematika, bagaimana siswa belajar matematika, dan bagaimana matematika harus diajarkan. Dalam pendidikan matematika, menurut Freudenthal siswa bukanlah sekedar penerima yang pasif terhadap materi matematika yang siap saji, tetapi siswa perlu diberi kesempatan untuk reinvent (menemukan) matematika melalui pratik yang mereka alami sendiri. Suatu pinsip utama RME adalah siswa harus berpartisipasi secara aktif dalam proses belajar. Siswa harus diberi kesempatan untuk membangun pengetahuan dan pemahaman mereka sendiri.
Materi pelajaran perlu bersifat real bagi siswa. Inilah yang menjadi alasan mengapa disebut Realistic Mathematics Education. Tentu saja tidak berarti bahwa RME harus selalu menggunakan masalah kehidupan nyata. Masalah matematika yang bersifat abstrak dapat dibuat menjadi nyata dalam benak (pikiran) siswa.
Alasan mengapa orang Belanda menggunakan istilah “realistic” bukanlah karena RME berkaitan dengan dunia nyata (real world), tetapi juga berkaitan dengan penggunaan masalah yang dapat dibayangkan oleh siswa. Membayangkan dalam bahasa belanda adalah “zich REALISEren”. Penekanannya adalah membuat sesuatu menjadi nyata dalam pikiran. Jadi masalah yang disajikan tidak selamanya harus berasal dari dunia nyata.
Pembelajaran matematika di Indonesia, pada umumnya dilakukan dengan urutan (1) penyajian definisi/rumus, (2) pemberian contoh/contoh soal, dan (3) pemberian latihan. Latihan kadang kala berupa soal cerita yang terkait dengan penggunaan definisi/rumus dalam kehidupan sehari-hari. Jadi, tradisi pembelajaran di Indonesia masih cenderung menempatkan pemberian masalah nyata di akhir pembelajaran. Hal ini sangat berbeda dengan RME yang menempatkan pemberian masalah nyata di awal pembelajaran.
RME dimulai dengan pengajuan masalah yang kaya (rich problem), yakni masalah yang dapat diselesaikan dengan berbagai cara yang berbeda.
Karakteristik rich problem adalah.
1. Pemecahannya mengarah pada aktivitas matematika.
2. Pemecahannya dapat dilakukan dengan berbagai pendekatan.
3. Biasanya diambil dari masalah kehidupan sehari-hari.
4. Pada dasarnya adalah masalah open-ended.
5. Biasanya melibatkan banyak disiplin ilmu lain.
Pada RME, pendidikan matematika lebih ditekankan pada aktivitas, yaitu aktivitas matematisasi. Matematisasi terdiri dari dua tipe yaitu matematisasi vertikal dan matematisasi horisontal. Matematisasi horisontal adalah proses penggunaan matematika sehingga siswa dapat mengorganisasikan dan memecahkan masalah dalam situasi nyata. Matematisasi vertikal adalah proses pengorganisasian kembali dengan menggunakan matematika itu sendiri. Matematisasi horisontal bergerak dari dunia nyata ke dunia simbol atau pentransformasian masalah nyata ke dalam model matematika, sedangkan matematisasi vertikal bergerak dalam dunia simbol itu sendiri atau proses dalam matematika itu sendiri.
Berdasarkan dua jenis matematisasi inilah, dibuatlah 4 klasifikasi pendekatan dalam pendidikan matematika, yaitu mekanistik, empiristik, strukturalistik, dan realistik. Pendekatan mekanistik tidak menggunakan matematisasi horisontal dan matematisasi vertikal. Pendekatan empiristik hanya menggunakan matematisasi horisontal. Pendekatan Stukturalistik hanya menggunakan matematisasi vertikal. Pendekatan realistik menggunakan matematisasi horisontal dan matematisasi vertikal dalam proses belajar mengajar.
Terdapat tiga prinsip dalam RME, yaitu:
1. Guided Reinvention, yakni siswa perlu diberikan kesempatan untuk mengalami proses yang sama sebagaimana suatu konsep matematika ditemukan. Siswa diberikan masalah nyata yang memungkinkan adanya berbagai penyelesaian dan selesaian.
2. Didactical Phenomenology, yakni topik matematika disajikan berdasarkan aplikasi dan kontribusinya pada materi matematika selanjutnya.
3. Self-Developed Model, yakni siswa mengembangkan model sendiri pada saat menyelesaikan masalah nyata.
Ciri-ciri pembelajaran yang menggunakan pendekatan RME adalah:
1. Menggunakan masalah nyata sebagai titik awal belajar.
2. Menggunakan model sebagai jembatan antara real dan abstrak.
3. Menggunakan kontribusi siswa dalam proses pembelajaran.
4. Pembelajaran berlangsung secara demokratis dan interaktif.
5. Pembelajaran terintegrasi dengan topik lainnya.

B. Tingkat Perkembangan Kognitif Siswa MI
Jean Piaget mengelompokkan tahap-tahap perkembangan kognitif anak ke dalam empat tahap, yaitu tahap sensori motor (0-2 tahun), tahap praoperasional (2-7 tahun), tahap operasi konkret (7-11 tahun), dan tahap operasi formal (11 tahun ke atas). Berdasarkan pengelompokan ini, maka anak MI masuk pada tahap operasi konkret. Hal ini berarti bahwa siswa MI masih sangat tergantung pada benda-benda konkret atau hal-hal nyata untuk dapat memahami sesuatu.
Perkembangan kognitif siswa bergerak dari konkret-semikonkret-abstrak. Kalau meminjam istilah Bruner, siswa bergarak dari tahap enactive, iconic, dan symbolic. Jadi, kurang tepat jika pembelajaran matematika dilakukan dengan urutan yang terbalik, yaitu dari abstrak menuju konkret (dari definisi ke aplikasi).
Objek-objek matematika bersifat abstrak. Keabstrakan matematika perlu diwujudkan menjadi lebih konkret untuk anak MI agar dapat memahami matematika. Upaya untuk mengkonkretkan matematika adalah dengan menggunakan realitas atau lingkungan siswa. Realitas bermakna segala sesuatu yang dapat dipahami siswa baik dengan cara mengamati langsung atau dengan membayangkan. Lingkungan bermakna segala sesuatu yang berada di sekitar siswa, baik lingkungan sekolah, keluarga, maupun masyarakat.
RME pada dasarnya adalah pemanfaatan realitas dan lingkungan untuk mempermudah proses pembelajaran. Hal ini dilakukan agar tujuan pembelajaran dapat tercapai dengan baik. RME menekankan pada reinvention yang dilakukan oleh siswa dengan bantuan guru melalui masalah nyata. Perlu diingat bahwa matematika sendiri adalah abstraksi dari dunia nyata. Matematika adalah hasil pengorganisasian situasi nyata yang mempunyai keteraturan. Dengan demikian, matematika yang bersifat abstrak dapat diupayakan menjadi konkret. Dari hal konkret inilah, siswa melakukan cara yang sama bagaimana matematika yang abstrak ditemukan.
C. Contoh Masalah untuk Penerapan RME di Madrasah Ibtidaiyah
1. Penjumlahan
Seorang siswa diminta untuk membuka “warung” di sudut kelas. Siswa yang lain diminta untuk membeli dua jenis menu dan menghitung berapa harga yang harus dibayar. Daftar menu dan harga dibuat dalam bentuk gambar yang menarik.
2. Pengurangan
a. Suatu mikrolet memuat 12 penumpang dari terminal Blitar. Ketika sampai di MI WB, ada yang turun sebanyak 5 orang. Berapa sisa penumpang mikrolet itu sekarang?
b. Di dua halte, dibuat catatan mengenai jumlah penumpang yang naik dan turun pada suatu mikrolet. Halte pertama mencatat jumlah penumpang yang naik dan halte kedua mencatat jumlah penumpang yang turun. Selanjutnya mikrolet melanjutkan perjalanan. Catatan untuk semua mikrolet ada. Yang ditanyakan berapa sisa penumpang setelah masing-masing mikrolet melewati halte kedua.
3. Perkalian
a. Ibu menghidangkan kue pada tamu. Kue ditaruh di 5 piring dan masing-masing piring memuat 6 kue. Berapa kue semuanya.
b. Andi memelihara ayam dan kambing. Setelah dihitung, diketahui bahwa banyaknya kaki ayam dan kaki kambing adalah 32. Berapa banyaknya ayam dan kambing Andi?
4. Pembagian
Ibu mengundang 30 orang tetangga untuk acara syukuran. Ayah menyediakan meja tamu yang mempunyai 6 kursi. Berapa banyaknya meja yang diperlukan untuk tamu?
5. Sistem Persamaan Linear Dua Peubah
Meskipun materi ini diajarkan di MTs, namun materi ini dapat diajarkan di MI dengan pendekatan realistik. Langkah-langkahnya sebagai berikut.
a. Diberi permasalahan nyata yang berkaitan dengan kehidupan sehari-hari siswa berikut.
Ali membeli dua buku dan satu pensil harganya Rp. 5000,00
Amir membeli satu buku dan satu pensil yang sama dengan yang dibeli Ali harganya Rp. 3500,00.
Jika Andi membeli satu buku berapa harganya?
b. Siswa SD menyelesaikan sebagai berikut

c. Siswa SD memanipulasi sebagai berikut.

Siswa akan tahu bahwa satu buku harganya Rp1.500,00
d. Guru membimbing siswa untuk mengenal konsep SPL dua peubah. Guru mengajak siswa menuliskan harga buku sebagai B dan harga pensil sebagai P. Akan didapat
2B + P = 5000
B + P = 3500
Guru menjelaskan bahwa bentuk tersebut dinamai Sistem Persamaan Linear Dua Peubah.
e. Guru mengajak siswa menyelesaikan SPL tersebut secara formal, sebagai berikut.
2B + P = 5000
B + P = 3500
Persamaan pertama dikurangi persamaan kedua menghasilkan
B = 1500.
Jadi, harga satu buku Rp.1.500,00.

Daftar Pustaka
Seegers, Gerard & Gravemeijer, K. 1997. Implementation and Effect of Realistic Curricula. Dalam Beishuizen, M (eds). The Role of Contexts and Models in the Development of Mathematical Strategies and Procedures. Utrecht: Freudenthal Institute.
Gravemeijer, K.. 1994. Developing Realistic Mathematics Education. Utrech: CD Press.

Posted in Artikel | Leave a Comment »

Topik dalam Teori Graf

Posted by abdussakir on November 17, 2009

Pada tulisan ini akan disajikan beberapa topik kajian yang dapat diangkat sebagai penelitian atau tugas akhir berkaitan dengan teori graf. Topik-topik kajian ini merupakan topik yang sederhana yang dapat dijangkau oleh mahasiswa sarjana matematika atau pendidikan matematika.

A. Radius dan Diameter

Permasalahan yang banyak dibahas dalam teori graf berkaitan dengan radius dan diameter adalah menentukan order minimum (minimum order) suatu graf unisentral atau bisentral dengan radius r dan diameter d. Berdasarkan hubungan

rad(G) <= diam(G) <= 2 rad(G)

untuk setiap graf G, maka akan diperoleh beberapa kemungkinkan berikut.

  1. rad(G) = diam(G).
  2. diam(G) = 2 rad(G).
  3. rad(G) < diam(G) < 2 rad(G).

Untuk kemungkinan pertama dan kedua pada graf unisentral, telah dibahas dengan hasil berikut.

a. Jika G graf unisentral dengan rad(G) = diam(G) = r, maka order G adalah p = 1.

b. Jika G graf unisentral dengan rad(G) = r dan diam(G) = 2r, maka order minimum dari G adalah p = 2r + 1, untuk r bilangan asli.

Dengan demikian, masih ada kasus yang perlu diselesaikan yaitu menentukan order minimum graf unisentral atau disentral G dengan rad(G) = r dan r < diam(G) < 2r, untuk bilangan asli r.

B. Graf dan Matriks

Jika G graf, maka dapat dibuat matriks adjacency titik A(G), matriks incidency I(G), dan matriks adjacency sisi B(G). Misalkan a1, a2, …, an adalah nilai eigen berbeda dari A(G), dengan a1 > a2 > … > an, dan misalkan b1, b2, …, bn adalah banyaknya basis yang bersesuaian untuk masing-masing ai, i = 1, 2, …, n maka matriks berukuran 2 x n dengan baris pertama berisi nilai eigen a1, a2, …, an dan baris kedua berisi b1, b2, …, bn disebut SPECTRUM dari G.

Permasalahan yang dapat diteliti adalah tentukan spectrum dari berbagai jenis graf. Sampai sejauh ini, penelitian yang dilakukan mahasiswa matematika UIN Malang adalah spectrum dari graf komplit Kn, graf bipartisi komplit K(m,n), graf lintasan Pn, dan graf sikel Cn. Silahkan dicoba untuk graf roda Wn, graf garis suatu graf, atau graf dual suatu graf.

C. Matrix-Tree Formula

Jika G graf dengan order n dan himpunan titik {v1, v2, …, vn}, maka dapat dibuat matriks adjacency titik A(G) berorder nxn sesuai urutan pelabelan titik. Selain itu, dapat juga dibuat matriks diagonal D(G) = [dij] berordo nxn dengan unsur diagonal utama dii = deg(vi). deg(vi) adalah derajat titik vi di G. Matriks B = D(G) – A(G) disebut matrix-tree, dan sebarang mengambil nilai kofaktor dari B, akan sama dengan banyaknya pohon rentangan (spanning tree number) di G. Cara ini dikenal dengan sebutan Matrix-Tree Formula.

Permasalahan yang dapat diteliti adalah tentukan spanning tree number berbagai jenis graf. Sampai sejauh ini, penelitian yang dilakukan mahasiswa matematika UIN Malang adalah spanning tree number graf komplit Kn, graf bipartisi komplit K(m,n), graf lintasan Pn, graf sikel Cn, dan graf roda Wn. Silahkan dicoba untuk graf yang lain, graf garis suatu graf, graf dual suatu graf, atau pada graf hasil operasi dua graf atau lebih.

Selamat Mencoba.

Posted in Matakuliah, Mau coba, Teori Graf | 2 Comments »

MATEMATIKA PUASA RAMADHAN

Posted by abdussakir on August 1, 2009

Bulan Ramadhan merupakan bulan suci bagi umat Islam. Bulan Ramadhan merupakan penghulu bulan-bulan (sayyidu as-syuhur) dalam kalender Qamariah (Hijriyah). Pada bulan Ramadhan, al-Qur’an pertama kali diturunkan dan pada bulan ini juga umat Islam di seluruh dunia melaksanakan ibadah puasa. Ibadah puasa merupakan rukun Islam yang keempat, dan wajib dilakukan oleh orang mukmin sebagaimana disebutkan dalam al-Qur’an surat al-Baqarah ayat 183: “Hai orang-orang yang beriman, diwajibkan atas kamu berpuasa sebagaimana diwajibkan atas orang-orang sebelum kamu agar kamu bertakwa”. Pada tulisan ini tidak akan dibicarakan mengenai definisi dan tata cara berpuasa, tetapi menjelaskan puasa berkaitan dengan matematika.

Kata “puasa” merupakan terjemahan dari kata “shaum“. Shaum merupakan bentuk tunggal (mufrad/single), yang bentuk jamaknya adalah Shiam. Jika mengkaji kitab suci al-Qur’an mengenai puasa ini, maka akan ditemui bahwa kata “shaum” disebutkan sebanyak 1 kali (yaitu pada QS 19:26), sedangkan kata “shiam” disebutkan sebanyak 9 kali, (yaitu pada QS 2:183, 187 (2 kali), 196 (2 kali); QS 4:92; QS 5:89, 95; dan QS 58:4). Jika lebih dalam mengkaji makna “shaum”, akan ditemui bahwa “shaum” merupakan puasa khusus, yang dalam QS 19:26 merupakan puasa berbicara. Untuk ibadah puasa di bulan Ramadhan, al-Qur’an menggunakan kata “shiam” yang disebutkan sebanyak 9 kali. Mengapa 9 kali? Jawaban paling mudah untuk pertanyaan ini adalah karena bulan Ramadhan merupakan bulan ke-9 dalam kalender Qamariah (Hijriyah). Jadi, jumlah penyebutan kata “shiam” mengarah pada bulan diwajibkannya ibadah shiam tersebut. Apakah ini kebetulan? Ini bukanlah kebetulan, karena al-Qur’an bukanlah kitab kebetulan. Semua isi al-Qur’an adalah haqq dan mempunyai tujuan tertentu.

Pada sistem bilangan desimal, sebenarnya hanya terdapat sepuluh macam lambang bilangan, yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Bilangan-bilangan tersebut akan membentuk siklus, yaitu setelah 9 akan kembali lagi ke 0. Jika hal ini dibuat analogi (untuk mengambil hikmah) berkaitkan dengan bulan Ramadhan yang merupakan bulan ke-9, akan didapatkan dua kesan. Kesan pertama, 9 merupakan bilangan terbesar yang sesuai dengan posisi bulan Ramadhan sebagai penghulu bulan-bulan (sayyidu as-syuhur). Kesan kedua, setelah 9 maka siklus akan kembali pada 0. Hal ini sangat sesuai dengan pelaksanaan ibadah puasa Ramadhan. Ibadah puasa Ramadhan diharapkan dapat mengembalikan umat Islam pada posisi nol, yaitu posisi fitrah. Setelah umat Islam sudah carut marut dengan berbagai salah dan dosa, maka puasa Ramadhan merupakan momen untuk mengembalikan dirinya kepada kesucian (‘aid al-fitrih), kembali pada posisi 0.

Kata “shiam” yang khusus membahas puasa Ramadhan, hanya dijelaskan pada surat QS 2 ayat 183 dan 187. Semuanya menggunakan kata “al-Shiam” yang berbeda dengan di ayat-ayat yang lain yang menggunakan kata “Shiam”, “Fashiam” atau “Shiama”. Jika digit-digit pada ketiga bilangan tersebut dijumlahkan akan diperoleh 2 + 1 + 8 + 3 + 1 + 8 + 7 = 30. Apa yang terbayang dengan bilangan 30? Bilangan 30 ini seakan mengingatkan pada banyak hari, yaitu 30 hari atau 1 bulan. Meskipun satu bulan tidak selalu 30 hari, tetapi secara umum satu bulan dianggap 30 hari. Kesan yang diperoleh berkaitan bilangan 30 tersebut adalah seakan sudah ditegaskan bahwa puasa Ramadhan adalah satu bulan penuh. Tidak dibenarkan puasa hari pertama saja dan hari terakhir saja (puasa bedug), dan tidak dibenarkan juga puasa selang-seling, sehari puasa sehari berikutnya tidak (puasa bolong). Puasa Ramadhan adalah puasa satu bulan penuh atau utuh.

Berkaitan dengan puasa Ramadhan, nabi Muhammad saw pernah bersabda bahwa “barang siapa berpuasa Ramadhan lalu dilanjutkan dengan puasa enam hari di bulan Syawal, maka seolah-olah sudah berpuasa setahun penuh”. Bagaimana dapat terjadi, 1 bulan ditambah 6 hari sama dengan 1 tahun? Hadits ini dapat dijelaskan secara matematik. Dalam al-Qur’an surat al-An’aam ayat 160 telah disebutkan bahwa “barangsiapa membawa amal yang baik, maka baginya (pahala) sepuluh kali lipat amalnya”. Berdasarkan ayat ini maka diperoleh bahwa 1 bulan akan sama dengan 10 bulan (dikalikan 10) dan 6 hari akan sama dengan 60 hari atau 2 bulan (juga dikalikan 10). Hasil akhir akan diperoleh, 10 bulan ditambah 2 bulan akan sama dengan 12 bulan atau 1 tahun. Penjelasakan matematik ini memang terlalu sederhana, karena menggunakan standar minimal (10 kali) dan menyamakan puasa Ramadhan dengan puasa Syawal. Pahala puasa Ramadhan hanya Allah swt yang tahu. Allah swt berfirman dalam hadits qudsi bahwa “puasa itu untuk-Ku, dan Akulah yang membalasnya”. Selain itu, nabi Muhammad saw bersabda bahwa “Allah menetapkan pahala antara 10 sampai 700 kali, tetapi tidak untuk pahala puasa Ramadhan”.

Mengakhiri tulisan ini, penulis berharap semoga kita semua dapat mengisi bulan Ramadhan ini dengan ibadah yang ikhlas, karena Allah swt semata. Semoga kita dapat melaksanakan puasa Ramadhan ini dengan baik dan penuh, yang dapat mengantarkan kita pada posisi nol atau posisi fitrah. Harapan terkahir, semoga kita mampu melaksanakan puasa Ramadhan dan mampu melanjutkannya dengan enam hari puasa di bulan Syawal.

Posted in Sains dan Agama | 1 Comment »

Pengalaman Belajar sesuai Teori Berpikir van Hiele

Posted by abdussakir on May 5, 2009

A.       Teori Berpikir van Hiele

            Teori van Hiele yang dikembangkan oleh dua pendidik berkebangsaan Belanda, Pierre Marie van Hiele dan Dina van Hiele-Geldof, menjelaskan perkembangan berpikir siswa dalam belajar geometri. Menurut teori van Hiele, seseorang akan melalui lima tahap perkembangan berpikir dalam belajar geometri. Kelima tahap perkembangan berpikir van Hiele tersebut adalah tahap 0 (visualisasi), tahap 1 (analisis), tahap 2 (deduksi informal), tahap 3 (deduksi), dan tahap 4 (rigor).

            Kelima Tahap berpikir van Hiele diatas dapat dijelaskan sebagai berikut.

Tahap 0 (Visualisasi)

            Tahap 0 ini juga dikenal dengan tahap dasar, tahap rekognisi, tahap holistik, dan tahap visual. Pada tahap ini siswa mengenal bentuk-bentuk geometri hanya sekedar berdasar karakteristik visual dan penampakannya. Siswa secara eksplisit tidak terfokus pada sifat-sifat obyek yang diamati, tetapi memandang obyek sebagai keseluruhan. Oleh karena itu, pada tahap ini siswa tidak dapat memahami dan menentukan sifat geometri dan karakteristik bangun yang ditunjukkan.

Tahap 1 (Analisis)

            Tahap 1 ini juga dikenal dengan tahap deskriptif. Pada tahap ini sudah tampak adanya analisis terhadap konsep dan sifat-sifatnya. Pada tahap ini siswa dapat menentukan sifat-sifat suatu bangun dengan melakukan pengamatan, pengukuran, eksperimen, menggambar dan membuat model. Meskipun demikian, siswa belum sepenuhnya dapat menjelaskan hubungan antara sifat-sifat tersebut, belum dapat melihat hubungan antara beberapa bangun geometri dan definisi tidak dapat dipahami oleh siswa.

Tahap 2 (Deduksi Informal)

            Tahap 2 ini juga dikenal dengan tahap abstrak, tahap abstrak/relasional, tahap teoritik, dan tahap keterkaitan. Hoffer menyebut tahap ini dengan tahap ordering. Pada tahap ini, siswa sudah dapat melihat hubungan sifat-sifat pada suatu bangun geometri dan sifat-sifat antara beberapa bangun geometri. Selain itu juga siswa dapat membuat definisi abstrak, menemukan sifat-sifat dari berbagai bangun dengan menggunakan deduksi informal, dan dapat mengklasifikasikan bangun-bangun secara hirarki. Meskipun demikian, siswa belum mengerti bahwa deduksi logis adalah metode untuk membangun geometri.

Tahap 3 (Deduksi)

            Tahap 3 ini juga dikenal dengan tahap deduksi formal. Pada tahap ini siswa dapat menyususn bukti, tidak hanya sekedar menerima bukti. Selain itu juga siswa dapat menyusun teorema dalam sistem aksiomatik. Pada tahap ini siswa berpeluang untuk mengembangkan bukti lebih dari satu cara. Perbedaan antara pernyataan dan konversinya dapat dibuat dan siswa menyadari perlunya pembuktian melalui serangkaian penalaran deduktif.

Tahap 4 (Rigor)

            Clements & Battista juga menyebut tahap ini dengan tahap metamatematika, sedangkan Muser dan Burger menyebut dengan tahap aksiomatik. Pada tahap 4 ini siswa bernalar secara formal dalam sistem matematika dan dapat menganalisis konsekuensi dari manipulasi aksioma dan definisi. Saling keterkaitan antara bentuk yang tidak didefinisikan, aksioma, definisi, teorema dan pembuktian formal dapat dipahami.

            Adapun karakteristik Teori van Hiele, yaitu (1) tahap-tahap tersebut bersifat hirarki dan sekuensial, (2) kecepatan berpindah dari tahap ke tahap berikutnya lebih bergantung pada pembelajaran, dan (3) setiap tahap mempunyai kosakata dan sistem relasi sendiri-sendiri (Anne,1999). Hal senada juga diungkapkan oleh Burger dan Culpepper (1993) bahwa setiap tahap memiliki karakteristik bahasa, simbol dan metode penyimpulan sendiri-sendiri.

            Clements & Battista menyatakan bahwa teori van Hiele mempunyai karakteristik, yaitu (1) belajar adalah proses yang tidak kontinu, terdapat “lompatan” dalam kurva belajar seseorang, (2) tahap-tahap tersebut bersifat terurut dan hirarki, (3) konsep yang dipahami secara implisit pada suatu tahap akan dipahami secara ekplisit pada tahap berikutnya, dan (4) setiap tahap mempunyai kosakata sendiri-sendiri. Crowley (1987) menyatakan bahwa teori van Hiele mempunyai sifat-sifat berikut (1) berurutan, yakni seseorang harus melalui tahap-tahap tersebut sesuai urutannya; (2) kemajuan, yakni keberhasilan dari tahap ke tahap lebih banyak dipengaruhi oleh isi dan metode pembelajaran daripada oleh usia; (3) intrinsik dan ekstrinsik, yakni obyek yang masih kurang jelas akan menjadi obyek yang jelas pada tahap berikutnya; (4) kosakata, yakni masing-masing tahap mempunyai kosakata dan sistem relasi sendiri; dan (5) mismacth, yakni jika seseorang berada pada suatu tahap dan tahap pembelajaran berada pada tahap yang berbeda. Artinya Secara khusus yakni jika guru, bahan pembelajaran, isi, kosakata dan lainnya berada pada tahap yang lebih tinggi daripada tahap berpikir siswa.

            Dari uraian diatas dapat disimpulkan bahwa setiap tahap dalam teori van Hiele, menunjukkan karakteristik proses berpikir siswa dalam belajar geometri dan pemahamannya dalam konteks geometri. Kualitas pengetahuan siswa tidak ditentukan oleh akumulasi pengetahuannya, tetapi lebih ditentukan oleh proses berpikir yang digunakan.Tahap-tahap berpikir van Hiele ini akan dilalui siswa secara berurutan. Dengan demikian siswa harus melewati suatu tahap dengan matang sebelum menuju tahap berikutnya. Kecepatan berpindah dari suatu tahap ke tahap berikutnya lebih banyak bergantung pada isi dan metode pembelajaran daripada umur dan kematangan  Dengan demikian, guru perlu menyediakan pengalaman belajar yang cocok dan sesuai dengan tahap berpikir siswa.

 

B.       Pengalaman Belajar sesuai Teori van Hiele

            Telah dijelaskan sebelumnya bahwa tingkat berpikir siswa dalam geometri menurut teori van Hiele lebih banyak bergantung pada isi dan metode pembelajaran. Oleh sebab itu, perlu disediakan aktivitas-aktivitas yang sesuai dengan tingkat berpikir siswa. Siswa SMU pada umumnya sudah sampai pada tahap berpikir deduksi informal. Hal ini sesuai dengan pendapat Geddes & Fortunato (1993) bahwa siswa SMU diharapkan sudah sampai pada tahap 2.

            Berikut ini akan dijelaskan aktivitas-aktivitas yang dapat digunakan untuk tiga tahap pertama, yaitu tahap 0 sampai tahap 2 (Crowley, 1987).

1. Aktivitas Tahap 0 (Visualisasi)

Pada tahap 0 ini, bangun-bangun geometri diperhatikan berdasarkan penampakan fisik sebagai suatu keseluruhan. Aktivitas untuk tahap ini antara lain sebagai berikut.

  1. Memanipulasi, mewarna, melipat dan mengkonstruk bangun-bangun geometri.
  2. Mengidentifikasi bangun atau relasi geometri dalam suatu gambar sederhana, dalam kumpulan potongan bangun, blok-blok pola atau alat peraga yang lain, dalam berbagai orientasi, melibatkan obyek-obyek fisik lain di dalam kelas, rumah, foto, atau tempat lain, dan dalam bangun-bangun yang lain.
  3. Membuat bangun dengan menjiplak gambar pada kertas bergaris, menggambar bangun, dan mengkonstruk bangun.
  4. Mendeksripsikan bangun-bangun geometri dan mengkonstruk secara verbal menggunakan bahasa baku atau tidak baku, misalnya kubus “seperti pintu atau kotak.”.
  5. Mengerjakan masalah yang  dapat dipecahkan dengan menyusun, mengukur, dan menghitung.

2. Aktivitas Tahap 1 (Analisis)

            Pada tahap 1 ini siswa diharapkan dapat mengungkapkan sifat-sifat bangun geometri. Aktivitas untuk tahap ini antara lain sebagai berikut.

  1. Mengukur, mewarna, melipat, memotong, memodelkan, dan menyusun dalam urutan tertentu untuk mengidentifikasi sifat-sifat dan hubungan geometri lainnya.
  2. Mendeskripsikan kelas suatu bangun sesuai sifat-sifatnya.
  3. Membandingkan bangun-bangun berdasarkan karakteristik sifat-sifatnya.
  4. Mengidentifikasi dan menggambar bangun yang diberikan secara verbal atau diberikan sifat-sifatnya secara tertulis.
  5. Mengidentifikasi bangun berdasarkan sudut pandang visualnya.
  6. Membuat suatu aturan dan generalisasi secara empirik (berdasarkan beberpa contoh yang dipelajari).
  7. Mengidentifikasi sifat-sifat yang dapat digunakan untuk mencirikan atau mengkontraskan kelas-kelas bangun yang berbeda.
  8. Menemukan sifat objek yang tidak dikenal.
  9. Menjumpai dan menggunakan kosakata atau simbol-simbol yang sesuai.
  10. Menyelesaikan masalah geometri yang dapat mengarahkan untuk mengetahui dan menemukan sifat-sifat suatu gambar, relasi geometri, atau pendekatan berdasar wawasan.

3. Aktivitas Tahap 2 (Deduksi Informal)

            Pada tahap 2 ini siswa diharapkan mampu mempelajari keterkaitan antara sifat-sifat dan bangun geometri yang dibentuk. Aktivitas siswa untuk tahap ini antara lain sebagai berikut.

  1. Mempelajari hubungan yang telah dibuat pada tahap 1, membuat inklusi, dan membuat implikasi
  2. Mengidentifikasi sifat-sifat minimal yang menggambar suatu bangun.
  3. Membuat dan menggunakan definisi
  4. Mengikuti argumen-argumen informal
  5. Menyajikan argumen informal.
  6. Mengikuti argumen deduktif,  mungkin dengan menyisipkan langkah-langkah yang kurang.
  7. Memberikan lebih dari satu pendekatan atau penjelasan.
  8. Melibatkan kerjasama dan diskusi yang mengarah pada pernyataan dan konversnya.
  9. Menyelesaikan masalah yang menekankan pada pentingnya sifat-sifat gambar dan saling keterkaitannya.

Van de Walle (1990) membuat deksripsi aktivitas yang lebih sederhana dibandingkan deskripsi yang dibuat oleh Crowley (1987). Menurut Van de Walle aktivitas pembelajaran untuk masing-masing tiga tahap pertama adalah sebagai berikut.

1. Aktivitas Tahap 0 (Visualisasi).

            Aktivitas pada tahap 0 ini haruslah:

  1. melibatkan penggunaan model fisik yang dapat digunakan siswa untuk memanipulasi,
  2. melibatkan berbagai contoh bangun-bangun yang sangat bervariasi dan berbeda sehingga sifat yang tidak relevan dapat diabaikan,
  3. melibatkan kegiatan memilih, mengidentifikasi dan mendeksripsikan berbagai bangun, dan
  4. menyediakan kesempatan untuk membentuk, membuat, menggambar, menyusun atau menggunting bangun.

2. Aktivitas Tahap 1 (Analisis)

            Aktivitas untuk tahap 1 ini haruslah:

  1. menggunakan model-model pada tahap 0, terutama pada model-model yang dapat digunakan untuk mengeksplorasi berbagai sifat bangun,
  2. mulai lebih menfokuskan pada sifat-sifat daripada sekedar identifikasi,
  3. mengklasifikasi bangun berdasar sifat-sifatnya berdasarkan nama bangun tersebut, dan
  4. menggunakan pemecahan masalah yang melibatkan sifat-sifat bangun.

3. Aktivitas Tahap 2 (Deduksi Informal)

            Aktivitas untuk tahap 2 ini haruslah:

  1. melanjutkan pengklasifikasian model dengan fokus pada pendefinisian sifat. Membuat daftar sifat dan mendiskusikan sifat yang perlu dan cukup untuk kondisi suatu bangun atau konsep,
  2. memuat penggunaan bahasa yang bersifat deduktif informal, misalnya: semua, suatu, dan jika-maka serta mengamati validitas konvers suatu relasi.
  3. Menggunakan model atau gambar sebagai sarana untuk berpikir dan mulai mencari generalisasi atau contoh kontra.

Aktivitas yang digunakan untuk tiap tahap berpikir dapat mengacu pada aktivitas yang dijelaskan oleh Van de Walle. Meskipun demikian, aktivitas ini masih dapat dilengkapi dengan aktivitas yang sesuai dengan penjelasan Crowley (1987). Pemilihan aktivitas ini didasarkan pada kecocokan antara materi yang akan diajarkan dengan deskripsi aktivitas tersebut.

Aktivitas pembelajaran untuk pengenalan konsep-konsep geometri di sekolah dasar atau menengah dapat dimulai dari tahap 0, tahap 1 sampai tahap 2. Hal ini didasarkan pada pendapat Van de Walle (1990) bahwa sebagian besar siswa sekolah menengah umum dapat berada pada tahap 0 atau tahap 2. Jika pembelajaran langsung dimulai pada tahap 2 dapat dimungkinkan terjadi mismatch. Mismatch adalah ketidaksesuaian antara pengalaman belajar dengan tahap berpikir siswa. Siswa yang berada pada suatu tahap berpikir, diberi pengalaman belajar sesuai tahap berpikir di atasnya. Mismatch dapat mengakibatkan belajar hafalan atau belajar temporer, sehingga berakibat konsep yang diperoleh siswa akan mudah dilupakan.

Posted in Artikel | 4 Comments »

COOPERATIVE LEARNING dalam PEMBELAJARAN MATEMATIKA

Posted by abdussakir on April 14, 2009

A. Pandangan Konstruktivis mengenai Cooperative Learning

Sebagian besar pembelajaran matematika tradisional berdasarkan pada transmisi, penyerapan dan penggerojokan pengetahuan. Dalam pandangan ini, siswa secara pasif “menyerap” struktur matematika yang diberikan guru atau yang terdapat dalam buku pelajaran. Pembelajaran hanya sekedar penyampaian fakta, konsep, prinsip dan keterampilan kepada siswa (Clements & Battista, 2001).

Pandangan konstruktivis memberikan perbedaan yang tajam dan kontras terhadap pandangan tersebut. Prinsip-prinsip dasar pandangan konstruktivis menurut Clements & Battista (2001) adalah sebagai berikut.

a.    Pengetahuan dibentuk dan ditemukan oleh siswa secara aktif, tidak sekedar diterima secara pasif dari lingkungan. Ide ini dapat diilustrasikan bahwa ide-ide matematika dibentuk oleh siswa, tidak sekedar ditemukan sebagai barang jadi atau diterima dari orang lain sebagai hadiah. Hal ini, senada dengan pendapat Orton (1992:163) bahwa materi dikonstruksi sendiri maknanya oleh siswa.

b.    Siswa mengkonstruk pengetahuan matematika dengan melakukan refleksi fisik dan mental, yaitu berbuat dan berpikir. Ide-ide dikonstruksi secara bermakna dengan cara diintegrasikan ke dalam struktur pengetahuan yang telah ada.

c.    Tidak ada realitas yang sebenarnya, siswa sendirilah yang membuat interpretasi mengenai dunia. Interpretasi ini dibentuk dengan pengalaman dan interaksi sosial. Jadi, belajar matematika harus berupa proses bukan hasil.

d.    Belajar adalah proses sosial. Ide-ide dan kebenaran matematika baik dalam penggunaan dan maknanya ditetapkan secara bersama oleh anggota suatu kelompok masyarakat (budaya).

Pembelajaran matematika dalam pandangan konstruktivis menurut Hudojo (1998) mempunyai ciri-ciri sebagai berikut: (a) siswa terlibat aktif dalam belajarnya. Siswa belajar materi matematika secara bermakna dengan bekerja dan berpikir, (b) informasi baru harus dikaitkan dengan informasi sebelumnya sehingga menyatu dengan skemata yang dimiliki siswa, dan (c) orientasi pembelajaran adalah investigasi dan penemuan yang pada dasarnya adalah pemecahan masalah.

Implikasi ciri-ciri pembelajaran matematika dalam pandangan konstruktivis adalah penyediaan lingkungan belajar yang konstruktif. Lingkungan belajar yang konstruktif menurut Hudojo (1998) adalah lingkungan belajar yang memenuhi kriteria berikut ini:

1.    menyediakan pengalaman belajar yang mengaitkan pengetahuan baru dengan pengetahuan yang telah dimiliki siswa sehingga belajar merupakan proses pembentukan pengetahuan;

2.    menyediakan berbagai alternatif pengalaman belajar;

3.    mengintegrasikan pembelajaran dengan situasi realistik dan relevan dengan melibatkan pengalaman konkret;

4.    mengintegrasikan pembelajaran yang memungkinkan terjadinya interaksi dan kerja sama antara siswa;

5.    memanfaatkan berbagai media agar pembelajaran lebih menarik; dan

6.    melibatkan siswa secara emosional dan sosial sehingga matematika lebih menarik dan siswa mau belajar.

Pandangan konstruktivis lahir dari gagasan Piaget dan Vygotksy. Keduanya menekankan bahwa perubahan kognitif hanya terjadi jika konsep-konsep yang telah dipahami sebelumnya diolah melalui proses ketidakseimbangan untuk memahami informasi baru. Piaget dan Vygotksy juga menekankan adanya hakikat sosial dari belajar, dan keduanya menyarankan penggunaan kelompok belajar yang anggotanya terdiri dari siswa dengan kemampuan yang beragam untuk mengupayakan perubahan konseptual. Ide-ide konstruktivis modern sekarang lebih banyak didasarkan pada ide-ide Vygotksy, yang telah digunakan untuk menunjang belajar kooperatif (Nur, Wikandari & Sugiarto, 1999). Bahkan menurut Johar (2001) tokoh-tokoh konstruktivis menganjurkan penggunaan belajar kooperatif. Menurut Sutawidjaja (2002), bahwa belajar kooperatif adalah salah satu alternatif yang perlu digalakkan dalam kontruktivisme karena pertimbangan sebagai berikut.

a.  Siswa yang sedang menyelesaikan masalah bersama-sama dengan teman sekelompoknya dalam kegiatan belajar kelompok masing-masing melihat bagaimana masalah itu dan merancang pemecahannya. Kegiatan ini merupakan cara menumbuhkan refleksi yang membutuhkan kesadaran tentang apa yang sedang dipikirkan dan dikerjakan. Dengan demikian menyediakan kesempatan siswa untuk mengabstraksikan secara aktif.

b. Menjelaskan sesuatu kepada teman biasanya mengarah ke pada siswa untuk melihat sesuatu lebih jelas dan seringkali menemukan ketidakkonsistenan pada pikirannya sendiri.

c. Ketika suatu kelompok kecil menerangkan solusinya ke seluruh kelas (tidak peduli apakah solusi layak atau tidak), kelompok itu memperoleh kesempatan yang berharga untuk mempelajari hasil yang mereka buat.

d. Mengetahui bahwa ada teman sekelompoknya belum bisa menjawab, akan meningkatkan kegairahan setiap anggota kelompok untuk mencoba menemukan jawabannya.

e. Keberhasilan suatu kelompok menemukan suatu jawaban akan menumbuhkan motivasi mereka untuk menghadapi masalah baru.

B. Belajar Kooperatif (Cooperative Learning)

Sekitar tahun 1960-an, belajar kompetitif dan individualistik telah mendominasi pendidikan di Amerika Serikat. Siswa biasanya datang ke sekolah dengan harapan untuk berkompetisi dan tekanan dari orang tua untuk menjadi yang terbaik. Dalam belajar kompetitif dan individualistik, guru menempatkan siswa terpisah dari siswa yang lain. Kata-kata “dilarang mencontoh”, “geser tempat dudukmu”, “Saya ingin agar kamu bekerja sendiri” dan “jangan perhatikan orang lain, perhatikan dirimu sendiri” sering digunakan dalam belajar kompetitif dan individualistik (Johnson & Johnson, 1994). Proses belajar seperti itu masih terjadi dalam pendidikan di Indonesia sekarang ini.

Jika disusun dengan baik, belajar kompetitif dan individualistik akan efektif dan merupakan cara memotivasi siswa untuk melakukan yang terbaik. Meskipun demikian terdapat beberapa kelemahan pada belajar kompetitif dan individualistik, yaitu (a) kompetisi siswa kadang tidak sehat, sebagai contoh jika seorang siswa menjawab pertanyaan guru, siswa yang  lain berharap agar jawaban yang diberikan salah, (b) siswa berkemampuan rendah akan kurang termotivasi, (c) siswa berkemampuan rendah akan sulit untuk sukses dan semakin tertinggal, dan (d) dapat membuat frustrasi siswa lainnya (Slavin, 1995). Untuk menghindari hal-hal tersebut dan agar siswa dapat membantu siswa yang lain untuk mencapai sukses, maka jalan keluarnya adalah dengan belajar kooperatif.

Belajar kooperatif bukanlah sesuatu yang baru. Sebagai guru dan mungkin sebagai siswa kita pernah menggunakannya atau mengalaminya, sebagai contoh saat bekerja dalam laboratorium. Dalam belajar kooperatif, siswa dibentuk dalam kelompok-kelompok yang terdiri dari 4 atau 5 orang untuk bekerja sama dalam menguasai materi yang diberikan guru (Slavin, 1995; Eggen & Kauchak, 1996; Suherman, 2001). Artzt & Newman (1990:448) menyatakan bahwa dalam belajar kooperatif siswa belajar bersama sebagai suatu tim dalam menyelesaikan tugas-tugas kelompok untuk mencapai tujuan bersama. Jadi, setiap anggota kelompok memiliki tanggung jawab yang sama untuk keberhasilan kelompoknya.

Kelompok belajar kooperatif adalah kelompok yang dibentuk dengan tujuan untuk memaksimalkan belajar antara siswa (Johnson & Johnson, 1994). Setiap anggota kelompok mempunyai tanggung jawab terhadap (a) kontribusi mereka dalam usaha mencapai tujuan dan (b) bantuan untuk anggota yang membutuhkan (Johnson & Johnson, 1994).

Belajar kooperatif mempunyai ide bahwa siswa bekerja sama untuk belajar dan bertanggung jawab pada kemajuan belajar temannya. Sebagai tambahan, belajar kooperatif menekankan pada tujuan dan kesuksesan kelompok, yang hanya dapat dicapai jika semua anggota kelompok mempelajari tujuan (penguasaan materi) yang akan dicapai (Slavin, 1995). Johnson & Johnson (1994) menyatakan bahwa tujuan pokok belajar kooperatif adalah memaksimalkan belajar siswa untuk peningkatan prestasi akademik dan pemahaman baik secara individu maupun secara kelompok. Karena siswa bekerja dalam suatu tim, maka dengan sendirinya dapat memperbaiki hubungan di antara para siswa dari berbagai latar belakang etnis dan kemampuan, mengembangkan keterampilan-keterampilan proses kelompok dan pemecahan masalah (Louisell & Descamps, 1992).

Zamroni (2000) mengemukakan bahwa manfaat penerapan belajar kooperatif adalah dapat mengurangi kesenjangan pendidikan khususnya dalam wujud input pada level individual. Di samping itu, belajar kooperatif dapat mengembangkan solidaritas sosial di kalangan siswa. Dengan belajar kooperatif, diharapkan kelak akan muncul generasi baru yang memiliki prestasi akademik yang cemerlang dan memiliki solidaritas sosial yang kuat.

Ditinjau dari sudut pandang perkembangan kognitif, belajar kooperatif berdasar pada pendapat Piaget dan Vygotsky (dalam Johnson & Johnson, 1994). Menurut Piaget, ketika siswa bekerjasama dalam suatu lingkungan, konflik sosiokognitif akan terjadi dan membentuk ketidakseimbangan kognitif (disequilibrium). Lebih lanjut, Piaget berpendapat bahwa selama usaha kooperatif, partisipan akan meningkatkan diskusi sehingga konflik kognitif terjadi dan akan dipecahkan serta penalaran yang salah akan nampak dan akan segera dimodifikasi. Menurut Vygotsky pengetahuan adalah bersifat sosial dan belajar terjadi dalam interaksi sosial (dalam Ibrahim & Nur, 2000).  Hal ini, sesuai dengan pendapat Bruner (dalam Ibrahim & Nur, 2000) bahwa interaksi sosial merupakan hal yang penting dalam belajar karena dapat berpengaruh pada perilaku pemecahan masalah oleh siswa. 

            Menurut Johnson & Johnson (1994), terdapat lima unsur penting dalam belajar kooperatif, yaitu seperti berikut ini.

1.      Saling ketergantungan yang bersifat positif antar siswa

      Dalam belajar kooperatif siswa merasa bahwa mereka sedang bekerja sama untuk mencapai satu tujuan dan terikat satu sama lain. Seorang siswa tidak akan sukses kecuali semua anggota kelompoknya juga sukses. Siswa akan merasa bahwa dirinya merupakan bagian dari kelompok yang juga mempunyai andil terhadap suksesnya kelompok.

2.      Interaksi antar siswa yang semakin meningkat

       Belajar kooperatif akan meningkatkan interaksi antar siswa. Hal ini, terjadi dalam hal seorang siswa akan membantu siswa lain untuk sukses sebagai anggota kelompok. Saling memberikan bantuan ini akan berlangsung secara alamiah karena kegagalan seseorang dalam kelompok mempengaruhi suksesnya kelompok. Untuk mengatasi masalah ini, siswa yang membutuhkan bantuan akan mendapatkan dari teman sekelompoknya. Interaksi yang terjadi dalam belajar kooperatif adalah dalam hal tukar menukar ide mengenai masalah yang sedang dipelajari bersama.

3.      Tanggung jawab individual

       Tanggung jawab individual dalam belajar kelompok dapat berupa tanggung jawab siswa dalam hal (a) membantu siswa yang membutuhkan bantuan dan (b) bahwa siswa tidak dapat hanya sekedar “membonceng” pada hasil kerja teman sekelompoknya.

4.      Keterampilan interpersonal dan kelompok kecil

       Dalam belajar kooperatif, selain dituntut untuk mempelajari materi yang diberikan seorang siswa dituntut untuk belajar bagaimana berinteraksi dengan siswa lain dalam kelompoknya. Bagaimana siswa bersikap sebagai anggota kelompok dan menyampaikan ide dalam kelompok akan menuntut keterampilan khusus.

5.      Proses kelompok

       Belajar kooperatif tidak akan berlangsung tanpa proses kelompok. Proses kelompok terjadi jika anggota kelompok mendiskusikan bagaimana mereka akan mencapai tujuan dengan baik dan membuat hubungan kerja yang baik.

Konsep utama dari belajar kooperatif menurut Slavin (1995) adalah sebagai berikut.

1.      Penghargaan kelompok, yang akan diberikan jika kelompok mencapai kriteria yang ditentukan.

2.      Tanggung jawab individual, bermakna bahwa suksesnya kelompok tergantung pada belajar individual semua anggota kelompok. Tanggung jawab ini terfokus dalam usaha untuk membantu yang lain dan memastikan setiap anggota kelompok telah siap menghadapi evaluasi tanpa bantuan yang lain.

3.      Kesempatan yang sama untuk sukses, bermakna bahwa siswa telah membantu kelompok dengan cara meningkatkan belajar mereka sendiri. Hal ini memastikan  bahwa siswa berkemampuan tinggi, sedang dan rendah sama-sama tertantang untuk melakukan yang terbaik dan bahwa kontribusi semua anggota kelompok sangat bernilai.

C. Keunggulan Belajar Kooperatif

Menurut Ibrahim dkk (2000) belajar kooperatif lebih unggul dalam meningkatkan hasil belajar daripada dengan belajar kompetitif dan individualistik. Lebih lanjut, Ibrahim dkk (2000) menyatakan bahwa belajar kooperatif dapat mengembangkan tingkah laku kooperatif dan hubungan yang lebih baik antar siswa, dan dapat mengembangkan kemampuan akademis siswa. Siswa belajar lebih banyak dari teman mereka dalam belajar kooperatif daripada dari guru. Ratumanan (2002) menyatakan bahwa interaksi yang terjadi dalam belajar kooperatif dapat memacu terbentuknya ide baru dan memperkaya perkembangan intelektual siswa. Menurut Kardi & Nur (2000) belajar kooperatif sangat efektif untuk memperbaiki hubungan antar suku dan etnis dalam kelas multibudaya dan memperbaiki hubungan antar siswa normal dan siswa penyandang cacat.

Johnson & Johnson (1994) menyatakan bahwa belajar kooperatif dapat digunakan dalam setiap jenjang pendidikan mulai taman kanak-kanak sampai perguruan tinggi, dalam semua bidang materi dan dalam sebarang tugas. Selain itu, Slavin (1995) menyatakan bahwa belajar kooperatif telah digunakan secara intensif pada setiap subjek pendidikan, dalam semua jenjang pendidikan dan pada semua jenis persekolahan di berbagai belahan dunia.

Uraian di atas, mendorong perlunya pelaksanaan belajar kooperatif dalam pembelajaran khususnya pembelajaran matematika. Pelaksanaan belajar kooperatif sangat diperlukan karena dengan belajar kooperatif dapat diperoleh bahwa (1) siswa dapat belajar lebih banyak, (2) siswa lebih menyukai lingkungan persekolahan, (3) siswa lebih menyukai satu sama lain, (4) siswa mempunyai penghargaan yang lebih besar terhadap diri sendiri, dan (5) siswa belajar keterampilan sosial secara lebih efektif (Johnson & Johnson, 1994).

Davidson (1991) memberikan sejumlah implikasi positif dalam belajar matematika dengan menggunakan strategi belajar kooperatif, yaitu sebagai berikut.

1. Kelompok kecil memberikan dukungan sosial untuk belajar matematika. Kelompok kecil membentuk suatu forum dimana siswa menanyakan pertanyaan, mendiskusikan  pendapat, belajar untuk mendengarkan pendapat dapat orang lain, memberikan kritik yang membangun dan menyimpulkan penemuan mereka dalam bentuk tulisan.

2.  Kelompok kecil menawarkan kesempatan untuk sukses bagi semua siswa dalam matematika. Interaksi dalam kelompok dirancang untuk semua anggota mempelajari konsep dan strategi pemecahan masalah.

3. Masalah matematika idealnya cocok untuk diskusi kelompok, sebab memiliki solusi yang dapat didemonstrasikan secara objektif. Seorang siswa dapat mempengaruhi siswa lain dengan argumentasi yang logis.

4. Siswa dalam kelompok dapat membantu siswa lain untuk menguasai masalah-masalah dasar dan prosedur perhitungan yang perlu dalam konteks permainan, teka-teki, atau pembahasan masalah-masalah yang bermanfaat.

5. Ruang lingkup matematika dipenuhi oleh ide-ide menarik dan menentang yang bermanfaat bila didiskusikan.

6. Matematika memberikan kesempatan untuk berpikir kreatif, matematika menjelajahi situasi yang tidak terbatas, untuk melakukan konjektur dan mengujinya dengan data, untuk mengajukan masalah-masalah yang membangkitkan minat, dan untuk memecahkan masalah-masalah yang tidak rutin, Siswa dalam kelompok sering dapat menangani situasi yang menantang yang melebihi kemampuan individu pada tingkat perkembangan tertentu.

D. Bentuk Belajar Kooperatif

Belajar kooperatif dapat berbeda dalam banyak cara, tetapi dapat dikategorikan sesuai dengan sifat: (1) tujuan kelompok, (2) tanggung jawab individual, (3) kesempatan yang sama untuk sukses, (4) kompetisi kelompok, (5) spesialisasi tugas, dan (6) adaptasi untuk kebutuhan individu (Slavin, 1995). Terdapat berbagai bentuk belajar kooperatif di antaranya adalah STAD, Jigsaw II dan Investigasi Kelompok (Eggen & Kauchak, 1996).  

a. Students Teams Achievement Divisions (STAD)

            STAD dikembangkan oleh Robert Slavin dan koleganya di Universitas John Hopkin (Ibrahim dkk,. 2000; Ratumanan, 2002). Dalam STAD, siswa dibentuk dalam kelompok belajar yang terdiri dari 4 atau 5 orang dari berbagai kemampuan, gender dan etnis. Dalam praktiknya, guru menyajikan pelajaran dan kemudian siswa bekerja dalam kelompok  untuk memastikan bahwa semua anggota kelompok telah menguasai materi. Selanjutnya, siswa menghadapi tes individual. STAD mempunyai 5 komponen, yaitu (1) presentasi kelas, (2) kelompok, (3) kuis atau tes, (4) skor individual, dan (5) penghargaan kelompok (Slavin, 1995).

b. Jigsaw II

            Jigsaw dikembangkan pertama kali oleh Elliot Aronson dan koleganya di Universitas Texas (Ibrahim dkk., 2000; Ratumanan, 2002). Dalam belajar kooperatif bentuk jigsaw II, siswa bekerja dalam kelompok seperti pada STAD. Siswa diberi materi untuk dipelajari. Masing-masing anggota kelompok secara acak ditugaskan untuk menjadi “ahli (expert)” pada suatu aspek tertentu dari materi. Setelah membaca materi, “ahli” dari kelompok berbeda berkumpul untuk mendiskusikan topik mereka dan kemudian kembali ke kelompok semula untuk mengajarkan topik yang mereka kuasai kepada teman sekelompoknya. Terakhir diberikan tes atau assesmen yang lain pada semua topik yang diberikan.

c. Investigasi Kelompok

            Investigasi Kelompok dikembangkan oleh Shlomo & Yael Sharon di Univesitas Tel Aviv (Slavin, 1995). Investigasi Kelompok adalah strategi belajar kooperatif yang menempatkan siswa ke dalam kelompok untuk melakukan investigasi terhadap suatu topik.

            Perencanaan untuk melakukan bentuk Investigasi Kelompok sama seperti pada bentuk belajar kooperatif yang lain. Perencanaan Investigasi Kelompok melibatkan lima tahap, yaitu (1) menentukan tujuan, (2) merencanakan pengumpulan informasi, (3) membentuk kelompok, (4) mendesain aktivitas kelompok, dan (5) merencanakan aktivitas kelompok secara keseluruhan. Tahap-tahap ini dapat dijelaskan sebagai berikut.

            Seperti pada perencanaan, implementasi aktivitas meliputi lima tahap yaitu (1) pengorganisasian kelompok dan identifikasi topik, (2) perencanaan kelompok, (3) pelaksanaan investigasi, (4) penganalisisan hasil dan mempersiapkan laporan, dan (5) penyajian laporan.

            Masih banyak lagi bentuk belajar kooperatif lainnya, misalnya Team Assisted Instruction (TAI), Team Game Tournament (TGT), dan Think Pair Share (TPS).

Posted in Artikel | 2 Comments »

PEMBELAJARAN MATEMATIKA MELALUI PEMECAHAN MASALAH REALISTIK

Posted by abdussakir on March 21, 2009

A. Pengertian Masalah Matematika
Hudojo (1979) menyatakan bahwa suatu soal akan merupakan masalah jika seseorang tidak mempunyai aturan/hukum tertentu yang segera dapat dipergunakan untuk menemukan jawaban soal tersebut. Masalah matematika berbeda dengan soal matematika. Soal matematika tidak selamanya merupakan masalah. Soal matematika yang dapat dikerjakan secara langsung dengan aturan/hukum tertentu tidak dapat disebut masalah.
Secara lebih rinci, Baroody (1993) membedakan soal ke dalam 3 bagian, yaitu latihan, masalah, dan enigma. Suatu soal disebut latihan jika seseorang sudah mengetahui strategi untuk menyelesaikannya dengan menggunakan prosedur atau rumus secara langsung. Suatu soal disebut masalah jika seseorang tidak dapat mengetahui secara langsung cara yang dapat digunakan untuk menyelesaikannya. Menurut Baroody (1993), masalah memiliki tiga komponen yaitu, (a) dapat mendorong seseorang untuk mengetahui sesuatu, (b) tidak ada cara langsung yang dapat digunakan untuk menyelesaikannya, dan (c) mendorong seseorang untuk menyelesaikannya. Suatu soal disebut enigma jika seseorang secara langsung mengabaikannya atau menganggapnya sebagai sesuatu yang tidak dapat dikerjakan. Karena seseorang tidak punya keinginan untuk menyelesaikannya atau sudah yakin bahwa tidak dapat diselesaikan, maka enigma tidak memerlukan pemikiran dua kali dan langsung ditinggalkan.
Dalam kamus Webster Edisi 2 (dalam Baroody, 1993) masalah diartikan sebagai berikut.
1. In mathematics, a problem is anything required to be done….
2. A problem is a question … that is perplexing or difficult.
Sesuai pengertian pertama, masalah diartikan sebagai sesuatu yang membutuhkan penyelesesaian. Jelas pengertian ini kurang tepat meskipun ada kata “dalam matematika”, karena sesuatu yang perlu diselesaikan tidak selamanya adalah masalah. Latihan juga merupakan sesuatu yang perlu diselesaikan. Pada pengertian kedua, masalah diartikan sebagai sesuatu yang rumit atau sulit. Pengertian ini juga kurang tepat, karena sesuatu yang rumit tidak selamanya adalah masalah. Sesuatu yang sulit dan seseorang secara langsung mengabaikannya sebagai soal yang tidak dapat dikerjakan bukanlah masalah, tetapi enigma.
Newell dan Simon (dalam Meiring, 1980) menyatakan bahwa masalah adalah situasi yang seseorang memerlukan sesuatu dan tidak mengetahui secara langsung tindakan yang akan dilakukan untuk mencapainya. Secara khusus, Meiring (1980) menyatakan bahwa masalah matematika harus memiliki beberapa syarat yaitu (1) situasi harus memuat pernyataan awal dan tujuan, (2) situasi harus memuat ide-ide matematika, (3) menarik seseorang untuk mencari selesaiannya, dan (4) harus memuat penghalang/rintangan antara yang diketahui dan yang diinginkan. Selanjutnya Hudojo (1979) menyatakan bahwa syarat suatu masalah bagi siswa adalah (1) soal yang diberikan kepada siswa harus dapat dipahami oleh siswa, namun soal tersebut merupakan tantangan untuk diselesaikan, dan (2) soal tersebut tidak dapat secara langsung dijawab dengan prosedur rutin yang telah diketahui siswa.
Berdasarkan uraian tersebut, dapat disimpulkan bahwa masalah matematika harus memenuhi syarat, yaitu (1) menantang untuk diselesaikan dan dapat dipahami siswa, (2) tidak dapat diselesaikan dengan prosedur rutin yang telah dikuasai siswa, dan (3) melibatkan ide-ide matematika.
B. Pemecahan Masalah dalam Pembelajaran Matematika
Ada beberapa pendekatan dalam memadukan pemecahan masalah ke dalam pembelajaran matematika. Menurut Baroody (1993) terdapat tiga pendekatan untuk memadukan pemecahan masalah ke dalam pembelajaran, yaitu (1) pembelajaran melalui pemecahan masalah, (2) pembelajaran mengenai pemecahan masalah, dan (3) pembelajaran untuk pemecahan masalah.
Pembelajaran melalui pemecahan masalah difokuskan pada penggunaan pemecahan masalah sebagai alat untuk mengajarkan suatu materi. Dalam hal ini, pembelajaran dimulai dengan mengajukan suatu masalah untuk mengajarkan suatu materi matematika. Pembelajaran seperti ini akan menunjukkan kepada siswa salah satu kegunaan mempelajari materi tersebut.
Pembelajaran mengenai pemecahan masalah adalah pembelajaran yang melibatkan secara langsung mengenai strategi-strategi pemecahan masalah. Teknik-teknik seperti membuat gambar atau melihat pola digunakan sebagai materi pembelajaran. Jadi pendekatan ini menekankan pada pembelajaran strategi-strategi pemecahan masalah. Pada umumnya, pendekatan ini memuat penjelasan dan/atau ilustrasi pemecahan masalah model Polya.
Pembelajaran untuk pemecahan masalah adalah pembelajaran yang difokuskan pada strategi pemecahan masalah secara umum dengan memberikan kesempatan kepada siswa secara langsung untuk menyelesaikan masalah. Dalam hal ini, siswa belajar bagaimana menggunakan pemecahan masalah model Polya dan strategi pemecahan masalah yang lain dalam memecahkan masalah yang menantang bagi siswa.
Pembelajaran melalui pemecahan masalah perlu dirancang dengan baik, sehingga dapat mengembangkan kemampuan siswa untuk membangun ide-ide baru dalam matematika. Hudojo (1979) menyatakan bahwa pembelajaran matematika melalui pemecahan masalah mempunyai fungsi yang penting dalam kegiatan belajar mengajar matematika, sehingga siswa dapat berlatih dan mengintegrasikan konsep-konsep, teorema-teorema, dan keterampilan yang dipelajarinya. Hudojo (2002) menyatakan bahwa masalah yang disajikan ke siswa adalah masalah kontekstual yaitu masalah yang memang semestinya dapat diselesaikan siswa sesuai dengan pengalaman siswa dalam kehidupannya.
C. Pembelajaran Matematika melalui Pemecahan Masalah Realistik
Menurut Freudenthal (dalam Sukahar, 2001), matematika perlu dikaitkan dengan realitas dan merupakan aktivitas manusia. Gravemeijer (1994) menyatakan bahwa matematika sebagai aktivitas manusia, mempunyai arti bahwa siswa perlu diberikan kesempatan untuk menemukan kembali ide-ide dan konsep matematika dengan bimbingan orang dewasa. Upaya ini dilakukan dengan mengondisikan berbagai situasi dan masalah-masalah yang realistik yang dapat dibayangkan oleh siswa.
Masalah yang realistik adalah masalah yang dikaitkan dengan dunia nyata yang biasa diakrabi siswa atau masalah yang melibatkan situasi sehingga siswa dapat membayangkan secara konkret masalah tersebut dalam pikirannya. Alasan mengapa orang Belanda menggunakan istilah “realistic” bukanlah karena realistic berkaitan dengan dunia nyata (real world) semata, tetapi juga berkaitan dengan penggunaan masalah yang dapat dibayangkan oleh siswa. Membayangkan dalam bahasa belanda adalah “zich REALISEren”. Penekanannya adalah membuat sesuatu menjadi nyata dalam pikiran. Jadi masalah yang disajikan tidak selamanya harus berasal dari dunia nyata.
Dengan memecahkan masalah yang realistik siswa diharapkan dapat menemukan kembali ide-ide matematika melalui abstraksi dunia nyata. Proses penemuan kembali dapat diformulasikan dengan menggunakan dua jenis matematisasi.
Treffers (dalam Suharta, 2001) menyatakan bahwa jenis matematisasi terdiri dari dua yaitu horizontal dan vertikal. Dalam matematisasi horizontal, siswa mengorganisasikan dan menyelesaikan suatu masalah yang ada pada situasi nyata dengan menggunakan model matematika. Misalnya, siswa dapat mengidentifikasi, merumuskan, dan memvisualisasikan masalah dengan cara yang berbeda, serta mentransformasikan masalah ke dunia nyata. Pada matematisasi vertikal proses pengorganisasian masalah kembali menggunakan konsep matematika. Misalnya, siswa menggunakan hubungan-hubungan dalam rumus, menyederhanakan dan menyesuaikan model matematika, dan membuat generalisasi.
Pembelajaran matematika melalui pemecahan masalah realistik mempunyai dua keuntungan, yaitu (1) menuntun siswa dari keadaan yang konkret (melalui proses matematisasi horizontal, matematika dalam tingkat ini adalah matematika informal) dan (2) biasanya para siswa dibimbing oleh masalah-masalah kontekstual yang berkaitan dengan lingkungan siswa (Tim MKPBM, 2001). Dunia nyata siswa sesuai realitas dan lingkungan yang biasa diakrabinya, digunakan sebagai titik pangkal permulaan dalam pengembangan konsep-konsep dan gagasan-gagasan matematika.
Menurut Treffers dan Gofree (dalam de Lange, 1996), masalah kontekstual dalam kurikulum matematika yang realistik, berguna untuk beberapa fungsi, sebagai berikut.
1. Pembentukan konsep. Pada tahap pertama pembelajaran, para siswa diperkenankan untuk masuk ke dalam matematika secara alamiah dan termotivasi.
2. Pembentukan model. Masalah-masalah kontekstual memasuki fondasi siswa belajar operasi, prosedur, notasi, aturan, dan mereka mengerjakan ini dalam kaitannya dengan model-model lain yang kegunaannya sebagai pendorong penting dalam berpikir.
3. Keterterapan. Masalah kontekstual menggunakan reality sebagai sumber dan domain untuk terapan.
4. Praktik dan latihan kemampuan spesifik dalam situasi terapan.
Berdasarkan gagasan seperti di atas, agar siswa memiliki konsep matematika yang kuat, salah satu alternatif yang ditawarkan adalah pembelajaran matematika melalui pemecahan masalah realistik. Pembelajaran matematika melalui pemecahan masalah realistik menurut de Lange (dalam Hartoyo, 2000), dideskripsikan sebagai berikut.
1. Pembelajaran diawali dengan memberikan pengalaman real kepada siswa. Siswa segera dapat menggunakan aktivitas matematika secara bermakna.
2. Memberikan perhatian kepada cara-cara yang dilakukan oleh siswa dalam perolehan pengetahuan matematika. Awal pelaksanaan pembelajaran merupakan landasan untuk menghubungkan dengan potensi akhir yang harus dicapai siswa selama berlangsungnya pembelajaran. Sebagai implikasi adalah aktivitas matematika yang dilakukan pada awal atau sebelum pembelajaran merupakan dasar yang dapat digunakan untuk meningkatkan pengalaman siswa dalam mengkonstruksi konsep-konsep matematika.
3. Rangkaian pembelajaran meliputi aktivitas-aktivitas yang mendorong siswa dalam mengkreasi dan menguraikan model-model simbolik dari aktivitas matematika yang dilakukan secara informal. Aktivitas pemodelan yaitu membuat gambar, tabel, atau meliputi pengembangan notasi-notasi informal. Model-model yang dibangun siswa melalui aktivitas secara informal dapat dikembangkan menjadi model-model untuk meningkatkan penalaran matematika secara abstrak.
Berdasarkan uraian tersebut, dapat disimpulkan bahwa pembelajaran matematika perlu dikaitkan dengan realitas. Selain itu, siswa perlu dilibatkan secara aktif karena matematika sendiri merupakan aktivitas manusia. Hal ini dapat diwujudkan melalui kegiatan pemecahan masalah yang sesuai realitas dan lingkungan siswa. Megawati (2003) menyatakan bahwa keuntungan yang dapat diperoleh dalam pembelajaran matematika melalui pemecahan masalah realistik adalah (1) masalah realistik dapat menuntun dan membimbing siswa dalam melakukan penyelesaian, (2) masalah realistik lebih menarik bagi siswa sehingga dapat meningkatkan motivasi, dan (3) masalah realistik membolehkan siswa bekerja sesuai tingkat berpikirnya.

Posted in Artikel | Comments Off

PEMBELAJARAN MATEMATIKA DENGAN PROBLEM POSING

Posted by abdussakir on February 13, 2009

A.       Belajar Matematika dengan Pemahaman

Menurut Hudojo (1990:5), dalam proses belajar matematika terjadi juga proses berpikir, sebab seseorang dikatakan berpikir bila orang itu melakukan kegiatan mental. Seseorang yang belajar matematika, mempersiapkan mentalnya dalam proses penerimaan pengetahuan baru yang disertai tindakan-tindakan konkret oleh orang itu melalui penyelesaian masalah matematika.

Sebelum tahun 1935, pembelajaran matematika (atau lebih tepatnya aritmetika) dilakukan dengan menggunakan pendekatan psikologi stimulus-respon (As’ari, 1998:2). Perhatian utama pendekatan stimulus-respon adalah kemampuan siswa menghafal dan menggunakan rumus atau algoritma secara efektif. Guru sudah cukup puas bila siswa sudah mampu mengoperasikan bilangan dan trampil menggunakannya untuk menyelesaikan masalah. Guru tidak memikirkan bahwa apakah siswa betul-betul memahami sesuatu yang dilakukan. As’ari (1998:3) juga mengemukakan bahwa guru tidak terlalu dipusingkan untuk membedakan dua istilah “know” dan “know how to”.

Situasi ini berakhir setelah seorang pakar matematika Brownell (1935) menyoroti pentingnya pemahaman dalam pengajaran aritmetika dan membedakan kedua istilah di atas. Orang mulai menyadari bahwa ada dua pengetahuan yang dapat dipelajari dalam matematika, yaitu pengetahuan konseptual dan pengetahuan prosedural. Kedua pengetahuan itu mempunyai peran yang sama pentingnya dan keduanya perlu diajarkan di sekolah (Hiebert dan Lindquist dalam As’ari, 1998:3). Suydam dan Higgins (dalam As’ari,1998:3), menyatakan  bahwa sejak Brownell mengemukakan pendapatnya tersebut,  pentingnya pemahaman dalam pengajaran aritmetika semakin diakui keberadaannya.

Menurut Hiebert dan Carpenter (dalam Grouws, 1992:67), memahami dalam matematika adalah membuat hubungan antara ide-ide, fakta, atau prosedur yang semuanya merupakan bagian dari jaringan. Dengan demikian masalah yang sudah dipahami dapat diselesaikan dengan cara memahami hubungan antara ide-ide, fakta atau prosedur yang terdapat dalam jaringan.

Hiebert dan Carpenter (dalam Grouws, 1992:70) menyatakan bahwa pemahaman matematika memerlukan suatu proses untuk menempatkan secara tepat informasi atau pengetahuan yang sedang dipelajari ke dalam jaringan internal dari representasi pengetahuan yang sudah dimiliki sebelumnya di dalam struktur kognitif siswa. Misalnya untuk menyelesaikan soal cerita yang memuat pengerjaan hitung penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan penjumlahan, diperlukan pemahaman tentang konsep penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian itu sendiri. Siswa yang hanya memahami sebagian dari hal-hal tersebut, tentu belum dapat menyelesaikan masalah itu.

Menurut Sutawidjaja (1997:177) memahami konsep saja tidak cukup, karena di dalam praktek kehidupan siswa memerlukan keterampilan matematika, sedangkan dengan memahiri keterampilannya saja siswa tidak mungkin memahami konsepnya. Oleh karena itu, guru harus menyampaikan konsep dengan benar dan kemudian melatihkan keterampilannya. Untuk pemahaman konsep, guru perlu memberikan latihan bervariasi, sedangkan untuk meningkatkan keterampilan, perlu dilakukan banyak latihan atau dapat juga melalui permainan agar lebih menarik. Bila pengetahuan matematika SD, baik yang konseptual maupun yang prosedural, tidak disajikan dengan cara yang sesuai, maka siswa akan mengalami kesulitan dalam memahami dan memahirinya.

Menurut Hiebert dan Carpenter (dalam As’ari, 1998:3-4) pengajaran yang menekankan kepada pemahaman mempunyai sedikitnya lima keuntungan berikut.

1.        Pemahaman memberikan generatif artinya bila seorang telah memahami suatu konsep, maka pengetahuan itu akan mengakibatkan pemahaman yang lain karena adanya jalinan antar pengetahuan yang dimiliki siswa, sehingga setiap pengetahuan baru melalui keterkaitan dengan pengetahuan yang sudah ada sebelumnya.

2.        Pemahaman memacu ingatan artinya suatu pengetahuan  yang telah dipahami dengan baik akan diatur dan dihubungkan secara efektif dengan pengetahuan-pengetahuan yang lain, melalui pengorganisasian skema atau pengetahuan secara lebih efisien di dalam struktur kognitif berfikir sehingga pengetahuan itu lebih mudah diingat.

3.        Pemahaman mengurangi banyaknya hal yang harus diingat artinya jalinan yang terbentuk antara pengetahuan yang satu dengan yang lain dalam struktur kognitif siswa yang mempelajarinya dengan penuh pemahaman merupakan jalinan yang sangat baik. Dengan memahami salah satu dari pengetahuan tersebut, maka segala pengetahuan yang terkait dapat diturunkan darinya, dengan demikian siswa tidak perlu mengahafalkan semuanya.

4.        Pemahaman meningkatkan transfer belajar artinya pemahaman suatu konsep matematika akan diperoleh siswa yang aktif menemukan keserupaan dari berbagai konsep tersebut. Hal ini akan membantu siswa untuk menganalisis apakah suatu konsep tertentu dapat diterapkan, untuk suatu kondisi tertentu.

5.        Pemahaman mempengaruhi keyakinan siswa artinya siswa yang memahami matematika dengan baik akan mempunyai keyakinan yang positif yang selanjutnya akan membantu perkembangan pengetahuan matematikanya.

Hiebert dan Carpenter (dalam Grouws,1992:69)  menyatakan bahwa pada dasarnya terbentuknya pemahaman ketika belajar berlangsung dalam proses yang digambarkan sebagai berikut.

1.        Menangkap ide yang dipelajari melalui pengalaman konkret.

2.        Menyatukan informasi dengan skema pengetahuan yang sudah dimiliki.

3.        Mengorganisasikan kembali pengetahuan yang sudah dimiliki, dengan membuat hubungan antara pengetahuan lama dan pengetahuan yang baru sehingga terbentuklah hubungan baru dengan hubungan lama yang dimodifikasikan.

 

B.       Pengertian Problem Posing

Problem posing merupakan istilah dalam bahasa Inggris, yang mempunyai beberapa padanan dalam bahasa Indonesia. Suryanto (1998:1) dan As’ari (2000:4) memadankan istilah problem posing dengan pembentukan soal. Sedangkan Sutiarso (1999:16) menggunakan istilah membuat soal, Siswono (1999:7) menggunakan istilah pengajuan soal, dan Suharta (2000:4) menggunakan istilah pengkonstruksian masalah.

Problem posing memiliki beberapa pengertian. Pertama, problem posing ialah perumusan soal sederhana atau perumusan ulang soal yang ada dengan beberapa perubahan agar lebih sederhana dan dapat dipahami dalam rangka memecahkan soal yang rumit. Kedua, problem posing ialah perumusan soal yang berkaitan dengan syarat-syarat pada soal yang telah diselesaikan dalam rangka mencari alternatif pemecahan lain (Silver & Cai, 1996:294). Ketiga, problem posing ialah perumusan soal dari informasi atau situasi yang tersedia, baik dilakukan sebelum, ketika, atau setelah penyelesaian suatu soal (Silver & Cai, 1996:523).

Menurut Brown dan Walter (1993:15) informasi atau situasi problem posing dapat berupa gambar, benda manipulatif, permainan, teorema atau konsep, alat peraga, soal, atau selesaian dari suatu soal. Selanjutnya Suryanto (1998:3) menyatakan bahwa soal dapat dibentuk melalui soal-soal yang ada dalam buku. Stoyanova (1996) mengklasifikasikan informasi atau situasi problem posing menjadi situasi problem posing yang bebas, semiterstuktur, dan terstruktur. Pada situasi problem posing yang bebas, siswa tidak diberikan suatu informasi yang harus ia patuhi, tetapi siswa diberi kesempatan yang seluas-luasnya untuk membentuk soal sesuai dengan apa yang ia kehendaki. Siswa dapat  menggunakan fenomena dalam kehidupan sehari-hari sebagai acuan dalam pembentukan soal. Sedangkan dalam situasi problem posing yang semi terstruktur, siswa diberi situasi atau informasi yang terbuka. Kemudian siswa diminta untuk mencari atau menyelidiki situasi atau informasi tersebut dengan cara menggunakan pengetahuan yang dimilikinya. Selain itu, siswa harus mengaitkan informasi itu dengan konsep-konsep dan prinsip-prinsip matematika yang diketahuinya untuk membentuk soal. Pada situasi problem posing yang terstuktur, informasi atau situasinya berupa soal atau selesaian dari suatu soal (Yuhasriati, 2002:12).

Pada penelitian ini, problem posing yang digunakan adalah perumusan soal yang sederhana atau perumusan ulang soal yang ada dengan beberapa perubahan agar menjadi lebih sederhana dan dapat dipahami dalam rangka menyelesaikan soal cerita operasi hitung campuran. Penelitian ini menggunakan informasi problem posing yang terstruktur, yaitu informasi berupa soal yang perlu diselesaikan oleh siswa. Berdasarkan soal cerita yang diberikan, siswa menyusun informasi dan kemudian membuat soal berdasarkan informasi yang telah disusun. Selanjutnya, soal-soal tersebut diselesaikan dalam rangka mencari selesaian sebenarnya dari pertanyaan soal cerita yang diberikan.

Respon siswa yang diharapkan dari situasi atau informasi problem posing adalah respon berupa soal buatan siswa. Namun demikian, tidak tertutup kemungkinan siswa membuat yang lain, misalnya siswa hanya membuat pernyataan.  Silver dan Cai (1996:526) mengklasifikasikan respon tersebut menurut jenisnya menjadi tiga kelompok, yaitu pertanyaan matematika, pertanyaan non matematika dan pernyataan.

Pertanyaan matematika adalah pertanyaan yang memuat masalah matematika dan mempunyai kaitan dengan informasi yang diberikan. Pertanyaan matematika ini, selanjutnya diklasifikasikan ke dalam dua kategori, yaitu pertanyaan matematika yang dapat diselesaikan dan pertanyaan matematika yang tidak dapat diselesaikan. Pertanyaan matematika yang dapat diselesaikan adalah pertanyaan yang memuat informasi yang cukup dari situasi yang ada untuk diselesaikan, atau jika pertanyaan tersebut memiliki tujuan yang tidak sesuai dengan informasi yang ada. Selanjutnya pertanyaan matematika yang dapat diselesaikan juga dibedakan atas dua hal, yaitu pertanyaan yang memuat informasi baru dan pertanyaan yang tidak memuat informasi baru.

Pertanyaan non matematika adalah pertanyaan yang tidak memuat masalah matematika dan tidak mempunyai kaitan dengan informasi yang diberikan. Sedangkan pernyataan adalah kalimat yang bersifat ungkapan atau berita yang tidak memuat pertanyaan, tetapi sekedar ungkapan yang bernilai benar atau salah.

Respon yang dihasilkan siswa mungkin lebih dari satu pertanyaan matematika. Antara pertanyaan yang satu dengan pertanyaan lainnya dapat dilihat hubungan yang terjadi. Menurut Silver dan Cai (1996:302) ada dua jenis hubungan antara respon-respon tersebut, yaitu hubungan simetrik dan berantai. Respon yang mempunyai hubungan simetrik disebut respon simetrik yaitu serangkaian respon yang objek-objeknya mempunyai hubungan. Sedangkan respon yang mempunyai hubungan berantai disebut respon berantai. Pada respon berantai, untuk menyelesiakan respon berikutnya diperlukan penyelesaian respon sebelumnya. Sehubungan itu, Kilpatrik (dalam Siver & Cai, 1996:354) menyatakan bahwa salah satu dasar kosep koginitif yang terlibat dalam pengajuan soal adalah assosiasi, yaitu kecendrungan siswa menggunakan respon pertama sebagai pijakan untuk mengajukan soal kedua, ketiga, dan seterusnya.

Berdasarkan tingkat kesukarannya, Silver dan Cai (1996:526), mengklasifikasikan respon siswa menjadi dua dua kelompok, yaitu: (1) tingkat kesukaran respon terkait dengan stuktur bahasa (sintaksis), dan (2) tingkat kesukaran respon terkait dengan stuktur matematika (semantik). Tingkat kesukaran respon yang berkaitan dengan sintaksis dapat dilihat dari proposisi yang dikandungnya. Proposisi yang digunakan dibedakan menjadi tiga, yaitu proposisi penugasan, proposisi hubungan, dan proposisi pengandaian. Proposisi penugasan adalah pertanyaan (soal) yang memuat tugas untuk dikerjakan. Proposisi hubungan adalah pertanyaan yang memuat tugas untuk membandingkan. Sedangkan proposisi pengandaian adalah pertanyaan yang menggunakan informasi tambahan.

Tingkat kesukaran respon berkaitan dengan stuktur semantik, dapat diketahui dari hubungan semantiknya. Menurut Marshall (dalam Silver & Cai, 1996:528) hubungan semantik respon siswa dapat dikelompokkan menjadi lima kategori, yaitu mengubah, mengelompokkan, membandingkan, menyatakan kembali, dan memvariasikan.

 

C.     Problem Posing dalam Pembelajaran Matematika

Problem posing adalah pembelajaran yang menekankan pada pengajuan soal oleh siswa. Oleh karena itu, problem posing dapat menjadi salah satu alternatif untuk mengembangkan berpikir matematis atau pola pikir matematis. Menurut Suryanto (1998:3) merumuskan soal merupakan salah satu dari tujuh kriteria berpikir atau pola berpikir matematis.

Dewasa ini, problem posing merupakan kegiatan penting dalam pembelajaran matematika. NCTM merekomendasikan agar dalam pembelajaran matematika, para siswa diberikan kesempatan untuk mengajukan soal sendiri (dalam Siver dan Cai, 1996:521). Silver dan Cai (1996:293) juga menyarankan agar pembelajaran matematika lebih ditekankan pada kegiatan problem posing. Menurut Cars (dalam Suryanto, 1998:9) untuk meningkatkan kemampuan menyelesaikan dapat dilakukan dengan cara membiasakan siswa mengajukan soal. Sejalan dengan itu, Suparno (1997:83) menyatakan bahwa mengungkapkan pertanyaan merupakan salah satu kegiatan yang dapat menantang siswa untuk lebih berpikir dan membangun pengetahuan mereka.

Menurut Killpatrich (dalam Silver dan Cai, 1996:530) salah satu dasar kognitif yang ada dalam problem posing adalah asosiasi. Selanjutnya, menurut As’ari (2000:9) dalam kegiatan problem posing, ketika terjadi proses asosiasi antara informasi baru dengan struktur kognitif yang dimiliki seseorang, maka proses selanjutnya yang terjadi adalah proses asimilasi dan akomodasi.

Di samping itu, Brown dan Walter (1996:15) yang menyatakan pembuatan soal dalam pembelajaran matematika melalui dua tahap kegiatan kognitif, yaitu accepting (menerima) dan challenging (menantang). Menerima terjadi ketika siswa membaca situasi atau informasi yang diberika guru dan menantang terjadi ketika siswa berusaha untuk mengajukan soal berdasarkan situasi atau informasi yang diberikan. Sehubungan dengan hal tersebut, As’ari (2000:9) menegaskan bahwa proses kognitif menerima memungkinkan siswa untuk menempatkan suatu informasi pada suatu jaringan struktur kognitif sehingga struktur kognitif tersebut makin kaya, sementara proses kognitif menantang memungkinkan jaringan stuktur kognitif yang ada menjadi semakin kuat hubungannya. Dengan demikian pembelajaran matematika dengan pendekatan problem posing akan menambah kemampuan dan penguatan konsep dan prinsip matematika siswa.
D. Referensi

As’ari, A.R. 1998. Penggunaan Alat Peraga Manipulatif dalam Penanaman Konsep Matematika. Jurnal Matematika, Ilmu Pengetahuan Alam dan Pengajaran. 27(I):1-13

As’ari, A.R. 2000, Problem Posing untuk Peningkatan Profesionalisme Guru Matematika. Jurnal Matematika. Tahun V, Nomor 1, April 2000.

Brown, S. & Walter, R.. 1990. The Art of Problem Posing. London: Lawrence Erlbaum Associates Publishers

Brown, S. & Walter, R.. (Ed). 1993. Problem Posing : Reflections and Aplications. New Jersey: Lawrence Erlbaum Associates Publishers.

Hiebert, J. & Carpenter, T.. 1992. Learning and Teaching with Understanding. Dalam D Grouws (ed). Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning (hlm.65-419). New York: Macmillan Publishing Company.

Hudojo, H.. 1990. Strategi Belajar Mengajar Matematika. IKIP Malang

Silver, E.A. & Cai, S.. 1996. An Analysis of Arithmetic Problem Posing by Middle School Students, Journal for Research in Mathematics Education. 27: 521-539

Siswono, Y.T.E., 2000. Pengajuan Soal (Problem Posing) dalam Pembelajaran Matematika di Sekolah (Implementasi dari Hasil Penelitian). Makalah disajikan pada Seminar Nasional Pengajaran Matematika Sekolah Menengah, 25 Maret 2000. Malang: FMIPA Universitas Negeri Malang.

Stoyanova, E. 1996. Developing a Framework for Research into Students’ Problem posing in School Mathematics, (Online), crsma@cc newcastel.edu.au, diakses 11 Juni 2001

Suharta, I.G.P. 2000. Pengkonstruksian Masalah oleh Siswa (Suatu Strategi Pembelajaran Matematika). Makalah disajikan pada Seminar Nasional Pengajaran Matematika di Sekolah Menengah yang dilaksanakan oleh Jurusan Matematika FMIPA UM. Malang, 25 Maret 2000.

Suparno, P. 1997. Filsafat Kontruktivisme dalam Pendidikan. Yogyakarta: Kanisius.

Suryanto, 1998. Problem Posing dalam Pembelajaran Matematika. Makalah disajikan pada Seminar Nasional: Upaya-upaya Meningkatkan Peran Pendidikan dalam Menghadapi Era Globalisasi. Program Pascasarjana IKIP Malang, 4 April 1998.

Sutawidjaja, A. 1997. Pembelajaran Matematika di Sekolah Dasar. Jurnal Matematika, Ilmu Pengetahuan, dan Pengajarannya. Volume 26(2):175-187.

Sutiarso, S. 1999. Pengaruh Pembelajaran dengan Pendekatan Problem Posing Terhadap Hasil Belajar Aritmatika Siswa SMPN 18 Malang. Tesis tidak diterbitkan. Program Pascasarjana UM.

Yuhasriati, 2002. Pembelajaran Persamaan Garis Lurus yang Memuat Problem Posing di SLTP Laboratorium Universitas Negeri Malang. Tesis tidak diterbitkan. Program Pascasarjana UM.

Posted in Artikel | 28 Comments »

PEMBELAJARAN MATEMATIKA DENGAN KOMPUTER

Posted by abdussakir on January 25, 2009

Pembelajaran dengan Komputer

              Di negera maju, komputer pertama kali digunakan dalam pembelajaran sekitar tahun 1950-an. Pada waktu itu komputer digunakan sebagai alat simulasi penerbangan untuk melatih pilot tempur. Pada tahun 1960-an, pembuatan PLATO (Programmed Logic for Automatic Teaching Operation) telah dimulai di Universitas Illinois dan sekitar tahun 1972-an, Mitre Corporation mengembangkan TICCIT (Timeshared Interactive Computer Controlled Information Television). PLATO dan TICCIT adalah program komputer yang dapat digunakan untuk pembelajaran.

              Meskipun demikian, karena mahalnya harga komputer, pembelajaran dengan komputer hanya berlangsung di perguruan tinggi dan lebih banyak untuk pembelajaran membaca dan mengetik. Ketika harga komputer mulai murah, yaitu sekitar  tahun 1975, penggunaan komputer di dalam kelas menjadi kenyataan. Pembelajaran dengan komputer di sekolah dasar sampai perguruan tinggi mulai dikembangkan.

              Penggunaan komputer untuk pembelajaran dari tahun ke tahun semakin meningkat. Sebelum  tahun 1980, di Amerika Serikat peningkatan penggunaan komputer untuk pembelajaran mencapai 20% (Davis, 1981:438). Ketika penggunaan komputer untuk pendidikan di Amerika Serikat meningkat dengan pesat sekitar tahun 1982-1983, di Indonesia komputer mulai digunakan dalam bidang pendidikan meskipun belum begitu luas.

              Taylor  adalah orang yang pertama kali membuat klasifikasi komputer untuk pembelajaran. Ia membagi pemanfaatan komputer sebagai: tool, tutor dan tutee. Sebagai tool, komputer digunakan oleh guru dan murid untuk mempermudah melaksanakan tugas-tugasnya, misalnya program pengolah kata. Sebagai tutor, komputer digunakan untuk menyampaikan materi pembelajaran, sedangkan sebagai tutee, komputer digunakan untuk melakukan perintah yang diberikan oleh siswa, misalnya bahasa pemrograman.  Selain sebagai tool, tutor dan tutee,  menambahkan bahwa komputer dapat dimanfaatkan sebagai katalis, yaitu pemberi motivasi untuk siswa.

              Berbagai penelitian telah dilakukan untuk membuktikan bahwa penggunaan komputer untuk pembelajaran lebih baik daripada penggunaan media atau metode konvensional lainnya. Dari berbagai penelitian, didapatkan bahwa dengan komputer hasil belajar lebih baik, pembelajaran lebih efektif, lebih menghemat waktu, daya ingat siswa lebih lama dan dapat membentuk prilaku yang positif. Meskipun ada hasil penelitian yang menyatakan bahwa  tidak ada perbedaan antara pembelajaran dengan komputer dan tanpa komputer, hal ini mungkin disebabkan karena  program komputer yang  digunakan didesain kurang sempurna.

              Berdasarkan hasil berbagai penelitian, disimpulkan bahwa komputer dapat digunakan secara efektif dan efisien pada setiap jenjang pendidikan, oleh semua siswa dan hampir dalam semua disiplin ilmu. Dengan demikian, komputer dapat digunakan mulai tingkat SD sampai perguruan tinggi termasuk dalam pembelajaran matematika.  

              Untuk memanfaatkan kelebihan komputer, penggunaan komputer untuk pembelajaran perlu dilakukan dalam situasi yang lebih menguntungkan. Situasi ini antara lain (1) biaya dengan metode lain sangat mahal, (2) keamanan kurang terjamin, (3) materi sangat sulit diajarkan dengan metode yang lain, (4) praktik siswa secara individual sangat diperlukan, (5) motivasi siswa kurang, dan (6) terdapat kesulitan yang logis dalam pembelajaran konvensional.

              Dilihat dari fungsinya, penggunaan komputer dalam pembelajaran dapat dibedakan menjadi dua, yaitu Pembelajaran Berbantuan Komputer (PBK) dan Pembelajaran Dikelola Komputer (PDK) .

1. Pembelajaran Berbantuan Komputer (PBK)

              Pembelajaran Berbantuan Komputer (PBK) diadopsi dari istilah Computer Assisted Instruction (CAI). CAI adalah istilah yang paling banyak digunakan di samping istilah Computer Based Instruction (CBI), Computer Assisted Learning (CAL), Computer Based Education (CBE) dan lainnya.

              PBK berkaitan langsung  dengan pemanfaatan komputer dalam proses belajar mengajar di dalam maupun di luar kelas, secara individu maupun secara kelompok. PBK dapat diartikan sebagai bentuk pembelajaran yang menempatkan komputer dalam peran guru. Dalam proses PBK, siswa berinteraksi secara langsung dengan komputer dan kontrol sepenuhnya berada di tangan siswa. Hal ini memungkinkan siswa untuk belajar sesuai kemampuannya dan memilih materi sesuai kebutuhannya.

Secara umum PBK berlangsung dengan cara (1) komputer menyampaikan materi, (2) komputer memberikan pertanyaan berkaitan dengan materi dan (3) sesuai dengan jawaban siswa, komputer membuat keputusan apakah siswa harus mengikuti remedi atau melanjutkan ke materi lainnya.

PBK dibagi menjadi 5 kelompok, yaitu (1) tutorial, (2) latih dan praktik, (3) simulasi, (4) permainan dan (5) pemecahan masalah. Selain lima tipe tersebut, Madja (1992:21) menambahkan satu tipe PBK yaitu inquiry. Sedangkan Schall dkk. (1986:196) menambahkan tipe PBK yang lain yaitu informasional.

Tutorial bertujuan untuk menyampaikan atau menjelaskan materi tertentu (Clements, 1889:22). Dalam tutorial, komputer menyampaikan materi, memberikan pertanyaan dan umpan balik sesuai dengan jawaban siswa. Interaksi antara siswa dan komputer belangsung dalam dialog yang terbatas.

Tutorial terbagi dalam dua bentuk, yaitu tutorial linear dan tutorial bercabang. Tutorial linear menyajikan satu topik ke topik selanjutnya dengan urutan yang ditetapkan oleh pemrogramnya. Dalam tutorial linear, siswa tidak dapat memilih materi sesuai keinginannya dan setiap siswa harus mengikuti atau mempelajari materi yang sama. Tutorial linear kurang memperhatikan perbedaan individu.

Penyajian materi dan topik dalam tutorial bercabang ditetapkan sesuai kemampuan dan pilihan siswa. Tutorial bercabang memberikan kebebasan kepada siswa untuk memilih atau mempelajari materi sesuai keinginannya, sehingga dimungkinkan antara siswa  yang satu dengan yang lainnya mempelajari materi yang berbeda. Dengan demikian tutorial bercabang memperhatikan perbedaan individu.

Menurut Alessi dan Trollip, tutorial bercabang memiliki kelebihan dibanding dengan tutorial linear yaitu (1) siswa dapat menentukan materi yang akan dipelajari, (2) pembelajaran lebih menarik, kreatif dan fleksibel, dan (3) pembelajaran lebih efektif. Paket yang akan dikembangkan dalam penelitian ini adalah tutorial bercabang.

Latih dan praktek diterapkan pada siswa yang sudah mempelajari konsep dasar. Dalam pembelajaran ini, siswa sudah siap untuk mengingat kembali dan/atau mengaplikasikan pengetahuan yang telah dimiliki. Jenis PBK ini cocok untuk memantapkan konsep yang telah dipelajari sebelumnya.

Simulasi digunakan untuk memperagakan sesuatu sehingga siswa merasa seperti berada dalam keadaan yang sebenarnya. Simulasi banyak digunakan dalam materi yang memerlukan biaya yang sangat mahal dan berbahaya atau sulit dilakukan. Penggunaan simulasi misalnya untuk melatih pilot pesawat terbang atau pilot tempur.

Permainan merupakan sarana bermain dan belajar. Jika pembelajaran ini didesain dengan baik, maka akan menimbulkan motivasi belajar siswa. PBK jenis ini sangat cocok untuk siswa yang senang bermain.

Pemecahan masalah adalah bentuk pembelajaran yang mirip dengan latih dan praktik, tetapi memiliki tingkat kesulitan yang lebih tinggi. Siswa tidak sekedar mengingat konsep-konsep atau materi dasar, melainkan dituntut untuk mampu menganalisis dan sekaligus memecahkan masalah.

Inquiry adalah suatu sistem basis data yang dapat dikonsultasikan oleh siswa. Basis data tersebut berisi data yang dapat memperkaya pengetahuan siswa.

Informasional biasanya mengembangkan informasi dalam bentuk daftar-daftar atau tabel. Informasional menuntut interaksi yang sedikit dari pemakai.

Lima kelompok PBK tersebut, yaitu tutorial, latih dan praktik,  simulasi, permainan dan pemecahan masalah dapat menjadi satu kesatuan dalam satu program pembelajaran. Program pembelajaran seringkali disebut courseware.

Paket hasil pengembangan ini termasuk ke dalam kelompok tutorial karena paket yang dihasilkan bertujuan untuk menyampaikan atau menjelaskan materi baru, yaitu materi irisan. Bentuk tutorial yang dipilih adalah tutorial bercabang. Dengan demikian pemilihan materi dan urutan materi dalam paket ini lebih ditentukan oleh keinginan siswa. Pemilihan bentuk ini didasarkan pada alasan bahwa tutorial bercabang memperhatikan perbedaan individu. Selain itu, menurut Alessi dan Trollip (1997:77-78) tutorial bercabang memiliki kelebihan sebagai berikut (1) siswa dapat menentukan materi yang akan dipelajari, (2) pembelajaran lebih menarik, kreatif, dan fleksibel, dan (3) pembelajaran lebih efektif.

2. Pembelajaran Dikelola Komputer (PDK)

Pekerjaan yang “menjemukan” dalam bidang pendidikan dapat dengan mudah diselesaikan oleh komputer, misalnya pengelolaan tes, pengadministrasian nilai, presensi siswa, biodata siswa, perekaman perkembangan dan kemajuan belajar siswa serta pembuatan laporan tentang siswa. Penggunaan komputer untuk membatu mengelola tugas ini disebut dengan Pembelajaran Dikelola Komputer (PDK). Jadi, PDK berfungsi untuk membantu guru tidak seperti PBK yang berfungsi untuk membantu siswa secara langsung.

PDK digunakan untuk membantu guru dalam melaksanakan tugas-tugas mengajar antara lain:

1.      menyimpan data nilai, rata-rata nilai, kemajuan belajar siswa dan menganalisis hasilnya,

2.      menyimpan catatan kekurangan dan kelebihan dalam mengajar,

3.      mengumpulkan, mengadministrasikan dan menganalisis hasil ujian,

4.      menyimpan jawaban siswa dalam PBK dan menyediakan materi remedial, dan

5.      menyiapkan dan menyampaikan materi dalam PBK.

Baker mengelompokkan PDK ke dalam kriteria kecil, sedang dan besar. PDK disebut kecil jika hanya mengelola satu tujuan dalam satu lembaga, sedang jika mengelola banyak tujuan dalam satu lembaga dan besar jika mengelola banyak tujuan dalam banyak lembaga.

Teori Belajar yang Melandasi PBK

PBK termasuk dalam bentuk pembelajaran terprogram (programmed instruction) yang berakar pada pandangan behavioris Skinner. PBK dilandasi oleh hukum akibat (law of effect) yang mempunyai asumsi utama bahwa tingkah laku yang diikuti rasa senang lebih besar kemungkinannya untuk dilakukan atau diulangi lagi daripada tingkah laku yang tidak diikuti rasa senang.

Melalui adopsi secara bertahap terhadap pandangan konstruktivis, sekarang sudah banyak ditemui PBK yang konsisten dengan prinsip konstruktivis. PBK yang sesuai dengan pandangan konstruktivis dapat diklasifikasikan ke dalam tiga kelompok, yaitu konstruktivis endogen, konstruktivis eksogen, dan konstruktivis dialektik. PBK yang masuk ke dalam kelompok konstruktivis endogen adalah PBK yang memuat lingkungan hypertext dan hypermedia yang memberikan kebebasan pada siswa untuk mencari informasi, memuat simulasi untuk melakukan eksplorasi, dan memuat microworld  untuk melakukan eksplorasi dan konstruksi.

PBK yang masuk ke dalam kelompok konstruktivis eksogen adalah PBK yang memberikan kontrol sepenuhnya kepada siswa dalam memilih materi pelajaran, mengikuti kegiatan pembelajaran, mengatur kecepatan pembelajaran, dan memberikan kesempatan kepada siswa untuk mengkonstruksi pengetahuan secara aktif. PBK yang masuk ke dalam kelompok konstruktivis dialektik adalah PBK yang menekankan pembelajaran pada peran interaksi sosial dalam proses pengkonstruksian pengetahuan siswa terutama pada strategi belajar kooperatif dan kolaboratif. PBK yang masuk ke dalam kelompok ini dikenal dengan istilah Computer Supported Collaborative Learning (CSCL).

PBK yang dihasilkan dari pengembangan ini masuk ke dalam kelompok konstruktivis eksogen. Hal ini karena PBK yang dikembangkan memberikan kontrol sepenuhnya kepada siswa untuk memilih materi, mengatur kecepatan pembelajaran, dan memberikan kesempatan kepada siswa untuk mengkonstruksi pengetahuan secara aktif melalui  kegiatan penemuan konsep.

Syarat-syarat PBK yang Baik

Ketika membuat atau memilih program pembelajaran (courseware) untuk PBK, banyak faktor yang perlu diperhatikan untuk mendapatkan courseware yang baik misalnya, keseimbangan desain program dari segi isi, organisasi, presentasi dan respon yang diharapkan. Courseware yang baik dari segi tersebut menurut Peter Cole dan Chan Lorna adalah (1) isi pembelajaran harus tepat, sesuai dengan umur, kemampuan dan kebutuhan siswa, (2) organisasi pembelajaran harus didesain dengan baik, (3) presentasi materi pada layar harus jelas dan rapi, dan (4) respon yang diharapkan harus sesuai dengan kemampuan siswa.

Nortwest Regional Educational Laboratory di Portland dalam format penilaiannya yaitu MicroSIFT, menyatakan terdapat 21 syarat PBK yang baik. 21 syarat ini dapat dikelompokkan ke dalam tiga kriteri, yaitu isi, pembelajaran, dan desain program. Dari segi isi PBK perlu memenuhi syarat berikut (1) isi harus tepat, (2) memuat nilai pendidikan, (3) memuat nilai-nilai yang baik, bebas dari ras, etnis, seks dan stereotyp lainnya, (4) tujuan dinyatakan dengan baik, dan (5) isi sesuai dengan tujuan yang ditetapkan. Dari segi pembelajaran PBK perlu memenuhi syarat berikut (1) penyampaian materi harus jelas, (2) kesesuaian tingkat kesukaran,  (3) kesesuaian penggunaan warna, suara dan grafik, (4) kesesuaian tingkat motivasi, (5) harus menantang kreativitas siswa, (6) umpan balik harus efektif, (7) kontrol harus ada di tangan siswa, (8) materi sesuai dengan pengalaman belajar siswa sebelumnya, dan (9) materi dapat digeneralisasikan. Sedangkan dari segi desain program PBK perlu memenuhi syarat berikut (1) program harus sempurna, (2) program ditata dengan baik, (3) pengaturan tampilan harus efektif, (4) pembelajarannya harus jelas, (5) membantu dan memudahkan guru, (6) sesuai dengan perkembangan teknologi komputer, dan (7) program sudah diujicoba.

Kedua puluh satu syarat PBK yang baik dapat juga ditinjau dari segi siswa dan segi guru. Dari segi siswa, PBK yang baik perlu memenuhi syarat berikut (1) kesesuaian tingkat kesukaran,  (2) kesesuaian tingkat motivasi, (3) harus menantang kreativitas siswa, (4) umpan balik harus efektif, (5) kontrol harus ada di tangan siswa, dan (6) materi sesuai dengan pengalaman belajar siswa sebelumnya. Sedangkan dari segi guru, PBK yang baik haruslah dapat memudahkan pekerjaan guru. Hal ini berarti bahwa dengan PBK tersebut beban guru dapat dikurangi. Peran guru dalam pembelajaran dapat digantikan oleh PBK semaksimal mungkin.

Paket PBK yang dikembangkan diupayakan memenuhi 21 syarat PBK yang baik yang terdapat dalam MicroSIFT. Paket yang dihasilkan diharapkan baik dari segi isi, pembelajaran, dan desain program. Selain itu, diharapkan paket PBK dapat membantu siswa secara maksimal dalam memahami materi dan membantu meringkankan beban guru.

Kelebihan dan Kelemahan PBK.

              Sebagai suatu media pembelajaran, PBK mempunyai kelebihan dan kelemahan. Kelebihan PBK menurut Cole dan Lorna antara lain (1) dapat meningkatkan perhatian dan konsentrasi siswa, (2) dapat meningkatkan motivasi siswa, (3) pembelajaran dapat disesuaikan dengan kebutuhan siswa secara individu, dan (4) mereduksi waktu penyampaian materi. Gerlach dan Ely (1980:395-396) menyatakan bahwa kelebihan PBK antara lain (1) dapat mengakomodasikan banyak siswa dan menjalankan fungsinya dengan sedikit kesalahan, (2) karena PBK adalah sistem berdasar komputer, ia tidak pernah lelah, benci, marah, tidak sabar dan tidak pernah lupa, dan (3) dapat menggunakan fasilitas penyimpanan untuk mengetahui kemajuan belajar siswa.

              Kelebihan lain dari PBK adalah bersifat tanggap dan bersahabat sehingga siswa belajar tanpa tekanan psikologis, materi dapat didesaian lebih menarik, tingkat kemampuan dan kecepatan belajar dapat dikontrol oleh siswa sehingga siswa dapat belajar dan berprestasi sesuai dengan kemampuannya, siswa dapat belajar sesuai waktu yang mereka perlukan dan belajar kemampuan dasar komputer yang diperlukan di luar kelas dan dapat mendorong guru untuk meningkatkan pengetahuan dan kemampuan mengenai komputer. Kelebihan yang dimiliki PBK ini sangat diperlukan dalam pembelajaran matematika dalam rangka mencapai tujuan pembelajaran secara efektif.

              Selain kelebihan, PBK juga memiliki kelemahan. Kelemahan PBK adalah masih terlalu mahal. Abdussakir dan Sudarman (2000:19-20) menyatakan kelemahan PBK antara lain (1) pembuatan PBK memerlukan biaya, waktu dan tenaga yang tidak sedikit, (2) kadang-kadang PBK hanya dapat dijalankan pada komputer tertentu, (3) kecepatan perkembangan teknologi komputer memungkinkan peralatan yang dibeli hari ini sudah usang pada tahun berikutnya, (4) karena PBK dikembangkan dalam dialog yang terbatas, maka ia tidak dapat menjawab semua permasalahan yang dihadapi siswa, (5) PBK akan menilai kemajuan siswa sesuai hasil belajarnya, tanpa dapat memperhatikan apakah waktu itu siswa kelelahan, mengantuk atau sakit, (6) pada umumnya PBK tidak dapat menilai proses belajar, PBK hanya menilai hasil akhir, dan (7) PBK tidak bisa meniru semua tingkah laku guru, misalnya gerak badan, gerak tangan, senyuman, penampakan raut muka dan terlebih ikatan batin antara guru dan siswa. Sedangkan Smith (tanpa tahun) menyatakan bahwa kelemahan PBK adalah tidak dapat melihat teknik siswa dalam menjawab soal dan penguatan yang diberikan sudah tertentu.

Kelemahan yang dimiliki PBK ini masih dapat diatasi. Faktor biaya, waktu dan tenaga yang diperlukan dalam pembuatan PBK pada akhirnya justru akan menghemat biaya, waktu, dan tenaga (Smith, tanpa tahun). PBK yang telah dihasilkan dapat digunakan secara terus menerus dan dapat disesuaikan dengan perkembangan teknologi komputer. Sedangkan kelemahan PBK yang tidak dapat menilai proses kerja siswa dapat diatasi dengan peran serta guru dalam pembelajaran yang menggunakan PBK. Hal ini menunjukkan bahwa kelebihan yang dimiliki PBK lebih banyak daripada kelemahan yang dimilikinya.

Pembelajaran Matematika Berbantuan Komputer

              Banyak masalah dalam matematika yang sukar dan hampir tidak bisa dilakukan oleh manusia dapat dengan mudah dilakukan oleh komputer, misalnya untuk menggambar grafik fungsi dalam ruang dimensi tiga. Dalam hal menghitung, kecepatan dan ketepatan komputer sukar dicari tandingannya. Selain itu, sesuai pernyataan Decker Walker (dalam Sewell, 1990:3), komputer dapat membuat suatu objek di layar tampak “hidup”. Hal ini karena kemampuan komputer untuk  membuat animasi dan visualisasi dari suatu objek. Kelebihan yang dimiliki oleh komputer  ini, sangat diperlukan dalam pembelajaran matematika.

              Dalam pembelajaran matematika, komputer banyak digunakan untuk materi yang memerlukan gambar, animasi, visualisasi dan warna, misalnya geometri. Clements (1989:267-268) menyatakan bahwa pembelajaran geometri dengan komputer perlu dilakukan. Dengan komputer, siswa dapat termotivasi untuk menyelesaikan masalah-masalah geometri. Satu hal yang paling penting adalah komputer dapat membuat konsep matematika (khususnya geometri) yang abstrak dan sulit menjadi lebih konkret dan jelas.

              Selain untuk geometri, komputer juga dapat digunakan untuk materi matematika yang lain. Komputer dapat digunakan dalam aljabar, misalnya untuk menyelesaikan sistem persamaan linier; dalam kalkulus, misalnya untuk menggambar grafik; dan dalam aritmetika, misalnya untuk melatih kemampuan berhitung. Selain itu masih banyak lagi materi matematika yang dapat diajarkan dengan menggunakan komputer (Abdussakir & Sudarman, 2000:5).

              National Council of Supervisor menyatakan bahwa komputer lebih baik digunakan untuk mengembangkan 10 kemampuan dasar dalam matematika, yaitu (1) problem solving, (2) aplikasi matematika dalam kehidupan sehari-hari, (3) peluang, (4) estimasi dan aproksimasi, (5) kemampuan berhitung, (6) geometri, (7) pengukuran, (8) membaca, menginterpretasi dan mengkonstruksi tabel, diagram dan grafik, (9) penggunaan matematika untuk prediksi, dan (10) “melek” komputer.

              Komputer telah memainkan peranan penting dalam pembelajaran matematika. Berdasarkan berbagai studi tentang penggunaan komputer dalam pembelajaran matematika  ditemukan bahwa hasil belajar siswa yang belajar matematika dengan komputer lebih baik daripada yang tidak menggunakan komputer. 

              Di SD (Elementary School), Suppes dan Morningstar dalam penelitian di California dan Mississippi terhadap siswa kelas 1 sampai kelas 6, menemukan bahwa nilai matematika siswa yang menggunakan PBK lebih tinggi daripada yang tidak menggunakan PBK. Harris dari penelitiannya terhadap siswa kelas 3 dan 5 SD menyatakan bahwa siswa yang menggunakan PBK dalam matematika nilainya lebih baik daripada yang tidak menggunakan PBK. Hawley dkk. dalam penelitiannya terhadap siswa kelas 3 dan 5 SD di Kanada menemukan bahwa nilai tes akhir siswa yang belajar dengan PBK lebih tinggi secara signifikan daripda siswa yang belajar secara konvensional. Mevarech & Rich dalam penelitian terhadap siswa kelas 3, 4, dan 5 SD di Israel menemukan bahwa pretasi matematika siswa dengan PBK lebih tinggi daripada dengan pembelajaran konvensional. Soebari (1998:79) menemukan bahwa siswa kelas 5 SD lebih mudah mengingat materi yang diajarkan dengan komputer. Ardana (1999:171) menemukan bahwa PBK dapat (1) meningkatkan konsep diri akademis matematika dan motivasi siswa SD dan (2) meningkatkan ketuntasan belajar, ketuntasan materi dan daya serap siswa SD.

              Di SMP (Junior High School), penelitian yang dilakukan Wilkinson di New York menemukan bahwa nilai matematika siswa yang menggunakan PBK lebih tinggi daripada yang tidak menggunakan PBK. Yohannes menemukan bahwa siswa kelas 3 SMP yang diajar dengan guru dan komputer memiliki prestasi belajar matematika yang lebih tinggi dibanding dengan kelompok siswa yang diajar dengan guru saja atau komputer saja.

              Di SMU (Senior High School), penelitian yang dilakukan Pachter terhadap siswa yang lemah dalam matematika menemukan bahwa siswa yang menggunakan PBK lebih sukses daripada yang tidak menggunakan PBK. Burns dan Bozeman  menemukan bahwa siswa SMU yang belajar matematika dengan PBK memperoleh prestasi yang lebih tinggi daripada siswa yang belajar secara konvensional. Santosa  dalam penelitiannya terhadap siswa kelas 1 SMA menemukan bahwa siswa yang belajar dengan guru dan komputer hasilnya lebih baik daripada siswa yang belajar dengan komputer saja atau pengajaran konvensional. Lebih lanjut Santosa  menyatakan bahwa minat belajar siswa terhadap matematika cukup tinggi jika belajar dengan komputer.

              Di perguruan tinggi, Sasser menemukan bahwa pretasi matematika mahasiswa yang menerima tutorial dengan komputer lebih tinggi daripada mahasiswa yang menerima tutorial dengan buku teks. Sedangkan Kulik, Kulik dan Cohen  dari berbagai penelitian di perguruan tinggi menyimpulkan bahwa PBK dapat (1) memberikan hasil belajar yang lebih tinggi secara signifikan, (2) meningkatkan daya tarik siswa terhadap pembelajaran dan materi, dan (3) mereduksi waktu penyampaian materi  dibandingkan dengan pembelajaran konvensional.

              Lockrad dkk menyatakan bahwa lima kelompok PBK, yaitu tutorial, latih dan praktik, simulasi, permainan dan pemecahan masalah sangat efektif untuk pembelajaran matematika. Meskipun demikian, kombinasi dari lima  kelompok PBK tersebut akan lebih menarik dan efektif untuk pembelajaran matematika.

Posted in Artikel | 2 Comments »

 
Follow

Get every new post delivered to your Inbox.